Genova, giovedì 22 febbraio 2003

TERNE PITAGORICHE perfette

Il metodo degl'antichi greci

E' possibile ricavare Terne Pitagoriche

come segue:

             d ; (d^2 - 1) / 2 ; (d^2 + 1) / 2

Sia p un numero intero pari; avremo

la seguente Terna:

             2p ;  p^2 - 1 ;  p^2 + 1

Quanto a "perimetro", la più piccola

in assoluto di tutte le Terne è  3, 4, 5

Questa Terna si ricava con entrambe

le possibilità sopra esposte, ed è

l'unico caso

che ciò avviene oltre che,

comunque, con il

metodo di Euclide-Diofanto-Fermat,

grazie al quale si ricavano tutte le

possibili Terne:

(cateto a)     = n^2 - m^2

(cateto b)     = 2nm

(ipotenusa c) = n^2 - m^2

(per cui poiché il Teorema di Pitagora

si può scrivere

              a^2 + b^2 = c^2

 e sostituendo avremo:

(n^2 - m^2)^2 + (2nm)^2 = (n^2 + m^2)^2

essendo:           1 ≤ m < n

La Terna  3, 4, 5 è l'unica che si ricava sia con

                          d = 3

sia con

                          p = 2

N. B. Soltanto in questo secondo caso 2p

non risulta essere il cateto minore, e neppure

p^2 -1

risulta essere il cateto maggiore.

Essi risultano invertiti, mentre ciò non avviene

con le altre Terne costruite mediante:

2p ;  p^2 - 1 ;  p^2 + 1

La Terna 3 , 4 , 5  è l'unica ad appartenere

sia alle terne dove

(cateto magg.) - (cateto min.) = 1 ,

(ad esempio: 3, 4, 5;  20, 21, 29;  119, 120, 169)

sia a quelle dove

(ipotenusa) - (cateto magg.) = 1

(ad esempio: 3, 4, 5;  11, 60, 61;  15, 112, 113)

Nelle Terne ottenute con

d ; (d^2 - 1) / 2; (d^2 + 1) / 2

(cat. min.)^2 = (cat. magg.) + (ipoten.)

e poiché un numero triangolare

si ricava, se  n è intero e positivo,

anche con le seguenti equazioni:

(n^2 + n) / 2 = (num. triang.)

e

(n^2 - n) / 2 = (num. triang.)

avremo che il semiperimetro delle Terne

di questo tipo è un numero triangolare;

numero triangolare

la quarta parte del

cateto maggiore.

Qualsiasi numero pari si ricava,

in questo tipo di Terne, dalla

differenza tra la somma dei cateti e

l'ipotenusa, che equivale

(cat. min.) + (cat. magg.) - (ipot.) = (n. pari)

ed escludendo il 2, anche dalla differenza

tra l'ipotenusa e la differenza dei cateti

che equivale

(ipot.) - (cat. magg.) + (cat. min) = (n. pari) > 2

Qualsiasi numero quadrato pari

può essere ricavato dalla somma delle

tre possibili differenze trai lati di

questo tipo di Terne, un quadrato per

ciascuna di queste, a cominciare da 4

nella Terna  3 , 4 , 5 :

5 - 3 = 2 ;    5 - 4 = 1 ;    4 - 3 = 1 ;

2 + 1 + 1 =  2^2

dove ad essere quadrato pari è

il cateto minore sottratto di  1:

                                                        equivalente a   2(ipot.) - 2(cat. min)

                                        2c - 2a = (a-1)^2

3, 4, 5;     4 + 5 = 9;     5-3 + 5-4 + 4-3 = (3-1)^2 = 4

                                               10 - 6 = 4

Questo numero quadrato equivale anche

al doppio della differenza tra l'ipotenusa

ed il cateto minore:

In questo tipo di Terne la somma dei

cateti corrisponde alla differenza

dei cateti della Terna successiva,

ovvero della Terna il cui cateto minore

supera di 2 unità il cateto (dispari)

della precedente.

La Terna  3 , 4 , 5

non ha Terne che la precedano.

Nella seguente figura, a partire dal

quadrato più piccolo posto all'interno

e di lato 1,abbiamo verso l'esterno

i quadrati di lato  7 , 17 , 31   i quali

illustrano come la differenza dei cateti

di una Terna

sia la somma dei cateti della terna

inferiore.

E, nella figura successiva, si osserva

come le diagonali dei rettangoli,

le quali sono  5  e  13 ,

siano le ipotenuse delle Terne

FIGURA INGRANDITA, CON VALORI

http://spazioinwind.libero.it/pin8/1.5.7.13.17.25.31

QUADRATI,

MEZZI QUADRATI,

QUADRATI DOPPI

In tutte le Terne Pitagoriche primitive

sia la differenza che la somma

dell'ipotenusa col cateto pari

restituiscono un quadrato,

ovviamente dispari.

Ad esempio:

TERNE                                                          QUADRATI

3 , 4 , 5                                                1 ,  9 ;

8 , 15 , 17                                            9 , 25 ;

20 , 21 , 29                                          9 , 49 ;

In tutte le Terne Pitagoriche primitive

sia la somma che la differenza

dell'ipotenusa col cateto dispari

restituiscono il doppio, o anche la metà,

di un quadrato,

ovviamente pari.

Ad esempio:

DIMOSTRAZIONE

del TEOREMA

di PITAGORA

Osservando la successiva figura

si nota che possiamo ritenere valido per

tutti i triangoli rettangoli quanto segue:

La superficie del quadrato

costruito col lato

dell'ipotenusa equivale al

doppio prodotto dei cateti

sommato al quadrato delle

loro differenze

Questo si ottiene perché il doppio

prodotto dei cateti equivale a 4 volte

la superficie di 1 dei triangoli rettangoli.

La dimostrazione algebrica

è la seguente:

Siano

                    a  <  b  <  c

Sostituendo

                   a^2 + b^2

con

                   2ab + (b - a)^2

nell'equazione del Teorema di Pitagora

che è

                a^2 + b^2 = c^2

abbiamo

                        2ab + (b - a)^2 = c ;

           2ab + a^2 - 2ab + b^2 = c ;

che appunto corrisponde a

                        a^2 + b^2 = c^2

Altra DIMOSTRAZIONE

del TEOREMA di

PITAGORA

Se si tiene conto che l'ipotenusa di un

triangolo può considerarsi la somma

delle 2 proiezioni dei cateti,

per ciò che concerne un triangolo

rettangolo ed il quadrato della sua

ipotenusa si può ritenere che esso

sia il quadrato di un binomio costituito

da questa somma.

In forza del PRIMO TEOREMA di EUCLIDE

poiché il cateto è medio proporzionale

tra la sua proiezione e l'ipotenusa,

si ha che il quadrato del cateto equivale

al prodotto della sua proiezione

moltiplicata per l'ipotenusa. E se si

sommano entrambi i prodotti che

restituiscono i quadrati dei due

cateti, allora si otterrà il quadrato

dell'ipotenusa.

Siano  y  e  j  le proiezioni si ha che:

(y + j)y + (y + j)j = (y + j)^2 ;

y^2 + 2yj + j^2 = (y + j)^2 ;

Entrambi i termini dell'equazione

sono uguali, perché sono appunto il quadrato

dello stesso binomio.

TERNA GENERA TERNA

Triangolo Retto GENERA

Triangolo Retto

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa alla quarta

sottratta del quadrato del quadruplo della superficie

del medesimo restituisce il quadrato di un cateto, il

quale cateto, insieme al quadruplo della superficie

del triangolo considerato ed al quadrato della

ipotenusa di questo, formano un altro triangolo

rettangolo, ovvero, anche una nuova Terna.

Se, per esempio, si prende la Terna

                      20 , 21 , 29

abbiamo

      29^4 - (2 * 20 * 21)^2 = 41^2

La nuova Terna ottenuta è quindi:

         a = 41 ;

         b = 840 ;

         c = 29^2 ;

    a^2 + b^2 = c^2

41^2 + 840^2 = 29^4

Altro  esempio, prendendo in considerazione la Terna

             3, 4, 5

Secondo quanto annunciato avremo una diversa Terna,

-)    nella quale l'ipotenusa equivale al quadrato

dell'ipotenusa presa in considerazione:

IPOTENUSA = 25 = 5^2 = (IPOTENUSA considerata)^2

-)    nella quale un cateto equivale a 4 volte la superficie

della terna considerata:

(CATETO) = 24 = 2 x 3 x 4 = 4 x (superf. terna considerata)

Si ricava con il T. di Pitagora il cateto rimanente:

(CATETObis) = sqrt(25^2 - 24^2) = sqrt(7^2) = 7

Impiegando Terne del tipo, dove

d ; (d^2 - 1) / 2 ; (d^2 + 1) / 2 ,

d  ≥ 3  è dispari e positivo

se assumiamo che il Teorema di P. può

scriversi

 a^2 + b^2 = c^2

ricaveremo una nuova Terna così:

√ {[(d^2 + 1) / 2]^4 - [d(d^2 -1)]^2} = a ;

                                                   d(d^2 - 1) = b ;

                                       [(d^2 + 1) / 2]^2 = c ;

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