Elementi sulle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è sempre riconducibile ad una forma del tipo ax²+bx+c > 0, oppure ax²+bx+c<0.

Per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di secondo grado vanno effettuate le seguenti operazioni:

1. Si scrive l'equazione associata e si risolve applicando, quando è possibile la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

2. Si studia il segno del trinomio di secondo grado tenendo presenti le considerazioni:

• la curva rappresentata da una equazione di secondo grado è una parabola di equazione y=ax2+bx+c con la concavità rivolta verso l'alto quando a>0, con la concavità rivolta verso il basso quando a<0;

• caso a>0
  
  1) se D=b²-4ac >0 D=b²-4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte x₁ ed x₂ che rappresentano  l'intersezione della curva descritta dal trinomio di secondo grado (la parabola) con l'asse delle x e il segno della disequazione è rappresentato dal seguente grafico:
  
                                                     
  
  2) se D=b²-4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x₁ = x₂ che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo eccetto nel punto x₁ in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x₁ = x₂ che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo eccetto nel punto x₁ in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

3) se D=b²-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

• caso a<0
  (parabola con concavità verso il basso)
  
  1) se D=b²-4ac >0 D=b²-4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte x₁ ed x₂ che rappresentano  l'intersezione della curva descritta dal trinomio di secondo grado (la parabola) con l'asse delle x e il segno della disequazione è rappresentato dal seguente grafico:

2) se D=b²-4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x₁ = x₂ che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto x₁ in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x₁ = x₂ che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto x₁ in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

3) se D=b²-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:
vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

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Si possono riassumere tali risultati nel seguente quadro:

Esempio:

1) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza:

Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=1>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); D>0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarà il seguente:

e le soluzioni della disequazione saranno x£-3 e x>o=-2 in quanto in tale intervallo i valori assunti saranno positivi che era quello che si stava cercando.

2) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza:

Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=1>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); D>0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarà il seguente:

 

le soluzioni della disequazione sono date quindi dall'intervallo 1 £ x £ 3 £ x £ 3 in cui il trinomio assume valori negativi, che è quanto stavamo cercando.