Elementi sulle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado č sempre riconducibile ad una forma del tipo ax2+bx+c > 0, oppure ax2+bx+c<0.

Per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di secondo grado vanno effettuate le seguenti operazioni:

1. Si scrive l'equazione associata e si risolve applicando, quando č possibile la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

2. Si studia il segno del trinomio di secondo grado tenendo presenti le considerazioni:



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3) se D=b2-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

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2) se D=b2-4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto x1 in cui si annulla (il segno del trinomio č concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto x1 in cui si annulla (il segno del trinomio č concorde con il segno del termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:



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3) se D=b2-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:
vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:

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Si possono riassumere tali risultati nel seguente quadro:

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Esempio:

1) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza:

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Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=1>0 (parabola con la concavitą rivolta verso l'alto); D>0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarą il seguente:

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e le soluzioni della disequazione saranno x£-3 e x>o=-2 in quanto in tale intervallo i valori assunti saranno positivi che era quello che si stava cercando.

2) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni indicate in precedenza:

disequaz09.gif (1895 byte)

Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso a=1>0 (parabola con la concavitą rivolta verso l'alto); D>0 (infatti abbiamo trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione sarą il seguente:

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le soluzioni della disequazione sono date quindi dall'intervallo 1 £ x £ 3 £ x £ 3 in cui il trinomio assume valori negativi, che č quanto stavamo cercando.