Elementi sulle disequazioni di grado superiore al secondo
disequazioni fratte

Una disequazione di grado superiore al secondo è sempre riconducibile ad una disequazione data dal prodotto di due o più polinomi di primo o secondo grado. Per la determinazione del segno di una disequazione di ordine superiore al secondo, quindi è necessario studiare il segno di ogni polinomio facente parte del prodotto e, intervallo per intervallo applicare la regola dei segni (ad esempio nell'intervallo I1 il polinomio 1 è positivo, il polinomio 2 è negativo risultato il prodotto dei due polinomi sarà dato dal prodotto del segno del primo per il segno del secondo (+*+=+, -*-=+, +*-=-, -*+=-)).

Le operazioni da effettuare per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di  grado superiore al secondo vanno effettuate le seguenti operazioni:

1. Si scompone l'equazione associata nel prodotto di due o più fattori di grado £   al secondo

2. Si studia il segno di ogni singolo fattore impostandolo ³ a 0

3. si applica la regola per il calcolo del segno su ogni partizione dell'intervallo determinato da ogni singolo fattore.

Per comprendere con più chiarezza le operazioni da svolgere è opportuno verificare il procedimento da seguire mediante adeguati esempi:

disequaz11.gif (1292 byte)

applicando per la II) lo studio del segno di una disequazione di secondo grado si ottiene:
      
a) x1=-3 ed x2=1 come soluzioni dell'equazione di secondo grado associata quindi ci troviamo nel caso
D >0
b) a=1>0 quindi la parabola rappresentativa del trinomio di secondo grado ha la concavità rivolta verso l'alto
c) il grafico che risulta per lo studio del trinomio sarà quindi il seguente:

disequaz12.gif (1273 byte)


A questo punto occorre verificare il segno del prodotto dei due fattori nei vari intervalli determinati dallo studio dei singoli fattori e quindi si fa un grafico riassuntivo in cui si applica la regola dei segni (da ricordare che il tratteggio indica la negatività e la linea continua la positività). Si ottiene quindi il seguente grafico riassuntivo:

disequaz13.gif (1752 byte)

nel quale:

sulla riga orientata vengono riportati i valori di x in cui entrambi i fattori ottengono come valore "0"; sulla prima riga si riporta il segno del primo fattore (primo grafico); sulla seconda riga si riporta il segno del secondo fattore(secondo grafico). Dopo aver eseguito lo studio del segno in ogni singolo intervallino (ad esempio per x<-3 il primo fattore è negativo, il secondo fattore è positivo, il prodotto tra i due sarà negativo, quindi la disequazione di partenza sarà negativa) si riporteranno i valori ottenuti.

Per la scrittura della soluzione della disequazione occorrerà controllare il segno che doveva assumere la disequazione di partenza   

x³+2x²-3x<0

e, dal momento che si richiedeva che la disequazione fosse <0 gli intervalli che soddisferanno tale condizione sono quelli in cui il prodotto dei due fattori è negativo(<0), quindi la soluzione sarà x<-3 U 0<x<1.

questa disequazione è di sesto grado, ma la sua forma è quasi perfetta per poterne eseguire lo studio, dal momento che l'unico fattore di grado superiore al secondo è l'ultimo, ovvero (x³-4x), occorre quindi procedere alla scomposizione di tale fattore nel seguente modo:

(x³-4x)=x(x²-4)

quindi la disequazione da studiare sarà:

(x-1)(x²+1)x(x²-4)>0

composta dai seguenti fattori:

I)         x-1>0

II)       x²+1>0

III)    x>0

IV)    x²-4>0

Vediamo nel dettaglio lo studio del segno ed il grafico dei singoli fattori:

I)      da x-1>0 segue x>1 cioè x-1 è positivo solo per valori di x maggiori di 1
        il suo grafico sarà

disequaz15.gif (1150 byte)

II)    x²+1>0 tale fattore risulta essere sempre maggiore di zero dal momento che è somma di x² (sempre positivo) al
       quale si aggiunge una quantità positiva; il suo grafico sarà:

disequaz14.gif (1125 byte)

III)    x>0 : su questo  fattore non occorre effettuare alcuna operazione perche x>0 quando x è positiva (x>0); il suo
       grafico sarà:

 disequaz11.gif (1291 byte)

IV)   x²-4>0: questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una disequazione di secondo grado,
       quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si determinano le soluzioni che sono x1=-2 ed x2=2 (perciò
D>0),
       si verifica che il coefficiente di x2 è positivo, quindi il grafico sarà:

disequaz16.gif (1275 byte)

 

Il grafico riassuntivo determinerà gli intervalli in cui la disequazione assume valori positivi e quelli in cui assume valori   negativi, come vediamo di seguito:

 

disequaz17.gif (2424 byte)

 

La soluzione della disequazione sarà quindi data dai seguenti intervalli : x<-2 U 0<x<1 U x>2.

N.B. Qualora la disequazione abbia come segno £ o ³ allora nell'insieme delle soluzioni vanno compresi anche i valori in cui i singoli fattori diventano nulli.

 


DISEQUAZIONI FRATTE

Analogamente a quanto avviene per la soluzione di disequazioni di grado superiore al secondo, per la soluzione di disequazioni fratte del tipo

f(x)/g(x)

occorre ridurre sia il numeratore, sia il denominatore in fattori di grado inferiore o uguale al secondo e poi studiare il segno di ogni singolo fattore. La differenza rispetto al prodotto sta nel fatto che bisogna ricordare di escludere dal denominatore tutti i valori che lo rendono nullo (0 al denominatore determina un valore impossibile per la frazione!!!).

Esempio:

Risolvere la disequazione

x²-4 £0
x-1   

x-1   

I fattori da studiare in questo caso sono già nella forma desiderata quindi occorrerà studiare dapprima il numeratore e poi il denominatore:

N)         x²-4>=0           

       questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una disequazione di secondo grado,
       quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si determinano le soluzioni che sono x1=-2 ed x2=2 (perciò
D>0),
       si verifica che il coefficiente di x2 è positivo, quindi il grafico sarà:

disequaz16.gif (1275 byte)

D)      x-1>0

       questa è una disequazione di primo grado la cui soluzione è data dai valori x>1 (in questo caso il segno = non viene considerato perchè 0 al denominatore determina un valore impossibile per la frazione!!!), il suo grafico sarà il seguente:

disequaz15.gif (1150 byte)

Il grafico riassuntivo sarà quindi:

disequaz18.gif (1663 byte)

come si può notare il valore che annulla il denominatore è stato eliminato con una croce (il punto non può far parte dell'insieme delle soluzioni), mentre i punti che annullano il numeratore, indicati con una pallina vengono presi in considerazione nell'insieme delle soluzioni qualora venga richiesto nel testo. Le soluzioni della nostra disequazione fratta saranno quindi date da:

x£-2 U 1<x£2

dal momento che si richiedevano i valori di x affinchè la frazione fosse negativa (£0).