Elementi sui sistemi di disequazioni

Per risolvere un sistema di disequazioni occorre risolvere separatamente ogni disequazione facente parte del sistema e determinare l'intervallo o gli intervalli in cui esse sono soddisfatte contemporaneamente.

Esempio:

sistemid01.gif (1211 byte)

la prima operazione da eseguire è risolvere la prima disequazione come illustrato nel paragrafo relativo alla soluzione delle disequazioni di primo grado si ottiene:

sistemid02.gif (1054 byte)                           

il cui grafico è

sistemidis01.gif (1160 byte)

e la soluzione è x>2

 

Si procede quindi con la soluzione della disequazione fratta, per ottenere:

sistemid03.gif (1069 byte)

lo studio del segno del numeratore porterà alla determinazione delle soluzioni dell'equazione associata nel seguente modo:

sistemid04.gif (1421 byte)

quindi il grafico che corrisponderà alla disequazione sarà

sistemidis02.gif (1281 byte)

Si passa quindi alla determinazione del segno del denominatore, per ottenere:

sistemid05.gif (1155 byte)

il cui grafico è:

sistemidis03.gif (1208 byte)

 

Si procede quindi ad eseguire il grafico della disequazione fratta riportando per ogni intervallo della partizione determinata   il segno ottenuto dalla frazione, nel seguente modo

sistemidis04.gif (1483 byte)

La soluzione della disequazione, dunque sarà (parte in giallo):

                                                             x£0  U  1/3<x£4£0  U  1/3<x£4

dal momento che la disequazione è verificata solo per valori di x che determinano un valore negativo al massimo uguale a zero per la frazione.

A questo punto si determinano gli intervalli dell'asse delle x per i quali siano verificate entrambe le disequazioni contemporaneamente, viene quindi eseguito un grafico riassuntivo in cui non si riportano più positività o negatività ma solo gli intervalli in cui ognuna delle disequazioni è verificata (una riga del grafico corrisponde ad una disequazione, quindi per un sistema di tre disequazioni si avranno tre righe, per un sistema di 4, quattro righe e così via). Quindi nel nostro caso il grafico sarà il seguente:

sistemidis05.gif (1491 byte)

e le soluzioni le seguenti:

2<x<4