Elementi sui sistemi
di disequazioni
Per risolvere un sistema di disequazioni occorre risolvere separatamente ogni disequazione facente parte del sistema e determinare l'intervallo o gli intervalli in cui esse sono soddisfatte contemporaneamente.
Esempio:
risolvere il seguente sistema di disequazioni
la prima operazione da eseguire è risolvere la prima disequazione come illustrato nel paragrafo relativo alla soluzione delle disequazioni di primo grado si ottiene:
il cui grafico è
e la soluzione è x>2
Si procede quindi con la soluzione della disequazione fratta, per ottenere:
lo studio del segno del numeratore porterà alla determinazione delle soluzioni dell'equazione associata nel seguente modo:
quindi il grafico che corrisponderà alla disequazione sarà
Si passa quindi alla determinazione del segno del denominatore, per ottenere:
il cui grafico è:
Si procede quindi ad eseguire il grafico della disequazione fratta riportando per ogni intervallo della partizione determinata il segno ottenuto dalla frazione, nel seguente modo
La soluzione della disequazione, dunque sarà (parte in giallo):
x£0 U 1/3<x£4£0 U 1/3<x£4
dal momento che la disequazione è verificata solo per valori di x che determinano un valore negativo al massimo uguale a zero per la frazione.
A questo punto si determinano gli intervalli dell'asse delle x per i quali siano verificate entrambe le disequazioni contemporaneamente, viene quindi eseguito un grafico riassuntivo in cui non si riportano più positività o negatività ma solo gli intervalli in cui ognuna delle disequazioni è verificata (una riga del grafico corrisponde ad una disequazione, quindi per un sistema di tre disequazioni si avranno tre righe, per un sistema di 4, quattro righe e così via). Quindi nel nostro caso il grafico sarà il seguente:
e le soluzioni le seguenti:
2<x<4