IL CONCETTO DI INTEGRALE

La questione che diede inizio allo sviluppo del calcolo integrale fu il calcolo dell’area di una superficie piana limitata da contorni curvilinei.

Dx=(b-a) /n  ed indichiamo m₁,m₂, …, m_n i minimi valori assunti dalla f(x) rispettivamente nel primo, secondo,...  n-esimo intervallino e con M₁, M₂, …, M_n i massimi valori assunti dalla f(x) rispettivamente nel primo, secondo, ... n-esimo intervallino.

Si calcoli l’area di tutti  i rettangolini che sono inscritti dalla f(x) ovvero quelli aventi come base l’intervallino Dx ed altezza il valore m_n. Il primo rettangolino avrà area Dx ed altezza il valore m_n. Il primo rettangolino avrà area Dx m₁, il secondo Dx m₂ l’n-esimo  Dx m_n. La somma di tutte le aree dei rettangolini darà l’area complessiva del plurirettangolo inscritto dalla f(x) che indicheremo come s_n . Quindi

Analogamente si può calcolare l’area di tutti rettangoli che circoscrivono la f(x) che hanno per base sempre Dx e come altezza il valore massimo assunto dalla f(x) nell’intervallino. Ragionando in maniera analoga si ottiene quindi che l’area totale del plurirettangolo che circoscrive la f(x) è dato da

Per qualsiasi valore di n risulta ovviamente s_n < S_n ed inoltre più grande è la partizione dell’intervallo AB tanto più i valore di s_n ed S_n approssimano il valore dell’area del trapezoide PQBA.   s_n ed S_n rappresentano due serie di numeri convergenti quindi

Il limite delle due successioni rappresenta quindi l’area del trapezoide.

Un noto teorema di analisi dimostra inoltre che se f(x) è una funzione continua nell’intevallo chiuso [a,b], le due successioni   s_n ed S_n sono convergenti e convergono allo stesso numero S, allora  allo stesso limite S converge ogni altra successione

dove f(x_i) è il valore che la f(x) assume in un punto qualsiasi dell’i-esimo intervallino.

Il valore S a cui tendono le successioni viene chiamato integrale definito della funzione f(x) relativo all’intervallo [a,b] e viene indicato con la scrittura

Da ricordare che: il risultato di un integrale definito è un numero ben determinato e non una funzione della variabile di integrazione x.

PROPRIETA’ degli INTEGRALI definiti.

Per  gli integrali  definiti valgono le seguenti proprietà

• L'integrale da a a b di una funzione f(x) è uguale all'opposto dell'integrale da b ad a della funzione stessa, ovvero:

• Sia c un punto interno all'intervallo [a,b], allora vale la seguente proprietà:

• TEOREMA DELLA MEDIA- L’integrale definito di una funzione continua f(x) è uguale all’ampiezza dell’intervallo        d’integrazione, moltiplicata per il valore che la funzione integranda assume in un conveniente punto scelto all'interno dell’intervallo stesso ovvero

dove x indica il conveniente punto dell’intervallo [a,b].

LA FUNZIONE INTEGRALE E LA SUA DERIVATA

 Consideriamo un punto variabile x dell’intervallo [a,b] e consideriamo quindi

Esso è certamente una funzione del suo estremo superiore x, infatti ad ogni determinato x dell’intervallo corrisponde un solo valore dell’integrale stesso. Si può quindi affermare   che

La F(x) viene detta funzione integrale.

TEOREMA DI TORRICELLI

Se la funzione integranda f(x) è continua in [a,b] la funzione integrale

è derivabile in detto intervallo e la sua derivata è la funzione integranda stessa ovvero vale

Dimostrazione:

Determiniamo il rapporto incrementale della F(x)

 Applicando il teorema della media, potremo scrivere che esiste un punto x tale che

Se tenendo fisso x facciamo tendere Dx a zero, x tenderà ad x. Per cui avremo:

e quindi                         ovvero                  

C.V.D. (Come Volevasi Dimostrare) 

F(x) è detta funzione primitiva di f(x). Le primitive di una funzione sono infinite e differiscono tra loro per una costante additiva.Più in generale si può dimostrare che

 In particolare l’insieme di tutte le primitive viene chiamato integrale indefinito e si scrive: 

per il quale valgono le seguenti proprietà:

• L'integrale del prodotto tra una costante ed una funzione f(x) è uguale al prodotto tra la costante e l'integrale della funzione, ovvero:

• L'integrale della somma (o differenza) di due funzioni f(x) e g(x) definite  su un intervallo [a,b] è uguale alla somma (o differenza) degli itegrali delle due funzioni, ovvero:

INTEGRALI IMMEDIATI

Integrazione per sostituzione:

Si vuole calcolare il seguente integrale

Quindi ricordando la regola di derivazione delle funzioni di funzione

D(f[g(x)])=f’(g(x))g’(x)

si pone   t=f(x)   si calcola il differenziale di quest’ultima espressione dt=f’(x)dx  e si sostituisce nell’integrale di partenza, per cui

da cui sostituendo il valore iniziale di t :

Con sostituzioni analoghe si ottiene: