LICEO-GINNASIO STATALE “B. RUSSELL” DI ROMA

Esperimento di fisica

Misurazione indiretta della densità assoluta ρ dell’aria 
mediante una bottiglia di plastica e una pompa da bicicletta.

                           
				
Fig.1	Fig.2	Fig.3	Fig.4	

                                                                
Strumenti e materiali adoperati

1. fig.1 calibro a corsoio decimale (P=20cm; S=0,01 cm) ;                                      
2. fig.2 una bottiglia di plastica munita di valvola sul tappo (P=1,5 dm3) ;              
3. fig.3 bilancia a bracci uguali (P=100g ;S=0,01g) ;
4. fig.4 un righello millimetrato (P=1m; S=0,1cm) ;
5. una pompa da bicicletta (diametro del pistone della pompa d=(2,00±0,01)cm  e lunghezza della corsa dello stantuffo nel cilindro della pompa l=(12,0±0,9)cm) ;
6. valvola di sicurezza.

Progetto dell’esperimento

Il metodo relativo alla misurazione indiretta della densità assoluta ρ di un gas si richiama a quello inventato nel 1826 da J. B. A. Dumas. Il chimico francese pubblicò, in una memoria sulla rivista "Annales de Chimie et de Physique", il resoconto delle sue ricerche finalizzate alla determinazione della densità dei gas. Il “metodo di Dumas” per determinare la densità di un gas consiste nel pesare un volume noto e costante V di gas in stato di equilibrio ad una data pressione e temperatura. Dumas realizzò queste misure di peso di un volume noto di un gas mediante un’apparecchiatura consistente in un pallone di vetro del volume di circa 300 cm3 che permettesse di mantenere immerso, in un liquido riscaldato, il gas per controllarne la temperatura. Egli ricavò la densità relativa ρr del gas in esame facendo il rapporto tra il peso del volume di gas e quello del volume d'aria, entrambe alla medesima temperatura e pressione. Noi, più modestamente, abbiamo semplificato il metodo di Dumas utilizzando una semplice e banale bottiglia di plastica, di quelle che contengono acqua minerale acquistata in un supermercato, fornita di un tappo con valvola. Per calcolare il valore della densità assoluta ρ dell’aria abbiamo misurato la massa m di una certa quantità d’aria da aggiungere con una pompa, attraverso una valvola a tenuta, nella bottiglia di plastica. Calcolando il volume aggiunto dell’aria, la densità assoluta si ottiene effettuando il rapporto tra la massa d’aria aggiunta m (in kg) e il suo volume V (in m3) calcolato mediante un multiplo del volume del cilindro della pompa da bicicletta.

Tab.1 – Dati sperimentali e determinazione della densità assoluta

N	m1
(g )
± 0,1	m2
(g)
± 0,1	d
(cm)
± 0,01	h
(cm)
± 0,1	m
(g)
±	V
(dm3)	ρ
(g/ dm3)	
NOTE	
1	53,1	56,0	2,00	42,0	2,9	2,8	0,9	n=20	

Calcoli: 

m = m2 - m1 = 56,0 – 53,1 = 2,9 g = 0,0029 kg

Δ m = 0,1 + 0,1 = 0,2 g

m = (2,9 ± 0,2) g

Vo= π d2 h/4 = (3,14) (2,00)2  (42,0) /4 = 131,9 cm3

ΔVo = 2 Δd Vo = 2  0,02  131,9 = 2,64 cm3  =3 cm3
                d              2,00

Vo= (132±3) cm3

Vo = n · Vo = (20) · (131,9)=2638 cm3 =0,002638 m3

ρ =  m  =    0,0029  kg   =  1,099 kg/m3 
        V     0,002638 m3

Teoria degli errori :

εrρ = εrm +  εrV
                                                                                                                   
 Δ ρ =  Δm +   ΔV   
  ρ         m         V  

Δ ρ = ( Δ m  +   ΔV  )  ρ = ( 0,2  +  2,64 )  1,099 = 0,0978 = 0,1 kg/m3                                                                                        
              m           V              2,9      131,9

  ρ = (1,1 ± 0,1) kg/m³

Relazione  

L’aria è un miscuglio composto da più elementi gassosi quali l’ossigeno, l’idrogeno, l’anidride carbonica e l’azoto. E’ presente anche acqua, sottoforma di vapore e umidità.
Lo scopo di questo esperimento è di misurare indirettamente la densità assoluta dell’aria presente in un ambiente di laboratorio con strumenti semplice e poco costosi, quali una bottiglia di plastica provvista di un tappo contenente una valvola da bicicletta. E’ evidente che il metodo adoperato non consente grandi precisioni. Esso consente di ottenere una stima del valore della densità del miscuglio e niente di più. Il metodo, tuttavia, ha il pregio di utilizzare un procedimento sperimentale molto efficace sul piano metodologico. Ecco uno schema semplice e lineare di come abbiamo proceduto. In primo luogo abbiamo misurato, con una bilancia di precisione a bracci uguali, la massa della bottiglia di plastica vuota m1=(53,9±0,1)g. Mediante una pompa da bicicletta abbiamo aggiunto all’aria presente nella bottiglia una quantità d’aria addizionale dovuta a n=20 pompate e abbiamo misurato di nuovo la massa della bottiglia ottenendo il valore m2=(56,0±0,1)g. Chiaramente è m2>m1. La differenza tra le due masse d’aria rappresenta la massa d’aria aggiunta con la pompa nella bottiglia, cioè m = m2 - m1 = 56,0 – 53,1 = 2,9 g = 0,0029 kg. A questo punto abbiamo calcolato il volume interno della pompa facendo l’ipotesi più che plausibile che la forma geometrica interna della pompa fosse di tipo cilindrico Vo= π r2 h = (3,14) (1,0)2  (42,0) = 131,9 cm3 . Il volume totale dell’aria pompata dentro la bottiglia, in aggiunta a quella presente inizialmente, è stato di V = n Vo = (20) (131,9)=2638 cm3 =0,002638 m3 . La densità assoluta dell’aria si ottiene dividendo massa m per volume V, cioè: 

ρ =  m  =    0,0029 kg    =  1,099  kg/m3 .
       V       0,002638 m3 
L’incertezza assoluta sulla densità è stata calcolata applicando la propagazione dell’errore. Il risultato finale è stato: ρ = (1,1 ± 0,1) kg/m³ a fronte di un valore teorico di ρ = (1,29 ± 0,01) kg/m³. 

Considerazioni critiche

Poiché il volume di un gas varia con la pressione e la temperatura, quando si misura la densità assoluta di un gas questi due parametri devono essere sempre specificati. Nel nostro caso l’esperimento è stato svolto in un laboratorio la cui temperatura era di T=(19,6± 0,2) °C. La pressione dell’aria è stata leggermente maggiore di quella atmosferica Po=(101±2) kPa.  
Il risultato ottenuto non è da considerarsi preciso. Le ragioni possono essere state imputate ai seguenti effetti. In primo luogo la pompa da bicicletta non era a tenuta. Questo fatto ha impedito che la massa del gas fosse quella realmente misurata per differenza ma è stata in realtà inferiore. Ciò ha comportato un valore della densità minore del previsto. In secondo luogo la corsa dello stantuffo della pompa non è stata sempre regolare. I risultati possono essere considerato adeguati soltanto in chiave di esperimento didattico. Se si vuole, si può migliorare la precisione intervenendo con accorgimenti tecnologici alla portata di un normale laboratorio.