Il senso fisico dei segni negativi nelle equazioni che riguardano il campo
Per capire il significato dei segni delle grandezze fisiche "intensità del campo gravitazionale
g" o "intensità del campo elettrico E", ma in generale di tutte le relazioni che coinvolgono i campi vettoriali di tipo conservativo, è utile fare ricorso alle linee di forza che sono,
com'è noto, uno strumento opportuno e una modalità adeguata nella rappresentazione fisica dei campi vettoriali.
Intanto ricordo che le "linee di forza" di un campo vettoriale sono una metodologia di indagine fisico-matematica, inventata da Faraday, che si propone di fornire una rappresentazione sintetica, sebbene geometrica e riduttiva, delle caratteristiche vettoriali dei campi.
Rammento a questo proposito che il concetto di "linea di forza", ma anche di altri concetti della fisica, sono libere invenzioni degli scienziati. Cioè, sono la conseguenza dell'azione immaginativa dell'intelligenza umana e non costituiscono pertanto oggetti concreti e materiali esistenti realmente e concretamente in natura. Non aspettarti, pertanto, di poterle vedere concretamente nello spazio come si vedono arcobaleni o scie luminose. Dicevo, dunque, che le linee di forza sono linee continue e orientate, nel senso di un verso precostituito, caratterizzate dalla proprietà fisico-matematica che la tangente in ogni loro punto P fornisce la direzione e il verso del vettore campo applicato in quel punto.
Da un punto di vista "faradaiano" le linee di forza hanno la proprietà geometrica di esprimere l'intensità del campo attraverso il concetto di "densità" di linee di forza. A questo proposito diremo che il numero di linee di forza per unità di superficie è direttamente proporzionale all'intensità del campo. Si intende subito che questa è, nonostante la superficiale maschera quantitativa dovuta
al termine «numero di...», un concetto più qualitativo che quantitativo. D'altronde non poteva essere diversamente se
fai mente locale alla poca dimestichezza che ebbe Faraday con la formalizzazione matematica in elettromagnetismo.
Da un punto di vista energetico, in un campo espresso vettorialmente da un vettore orientato, le linee di forza hanno una giustificazione di tipo "direzionale", nel senso che si dirigono sempre verso quella direzione in cui l'energia potenziale è minore. Questo concetto non è nuovo in fisica. Basta pensare al fatto che l'acqua di un ruscello si dirige sempre a valle (energia potenziale decrescente) scendendo lungo il pendìo di una montagna piuttosto che dirigersi verso l'alto in cui l'energia potenziale della stessa aumenta.
Per non parlare di una tegola che cade sul marciapiedi e non di una tegola che
"sale"... dal marciapiede.
Nel campo gravitazionale g prodotto da una massa m l'energia potenziale è minore "al centro" delle linee di forza dove si trova la massa gravitazionale che produce il campo. Di conseguenza le linee di forza in un campo
gravitazionale g sono rivolte verso il centro delle linee e non verso l'esterno come si nota nel caso in cui si tratta di una carica elettrica positiva.
La scelta del verso è arbitraria e ha valore convenzionale, perchè una volta definite le forze, si sceglie di definire l'energia potenziale U (relativa alle forze conservative) in
modo che il vettore forza è diretto verso i punti a energia potenziale minore secondo la relazione che la forza è il rapporto cambiato di segno tra la variazione dell'energia potenziale e il tratto di distanza in cui questa variazione si è manifestata.
Nel ricordarti la definizione di linee di forza ti dico subito che il fatto che esse
sono orientate verso i punti di minimo è una conseguenza di come è stata definita l'energia potenziale U.
Le linee di forza del campo gravitazionale g sono dirette verso le masse sorgenti del campo, mentre le linee di forza del campo elettrico
E sono dirette in uscita dalle sorgenti del campo se le cariche sono positive, al contrario se le cariche sono negative. Nel caso in cui le linee di forza da rappresentare fossero riferite al moto di un
liquido che proviene dall'infinito e le masse sorgenti fossero dei buchi il liquido,
sul fondo del recipiente, convergerebbe verso questi buchi e vi finirebbe dentro come in un lavandino in cui il liquido si dirige verso il foro di scarico.
La difficoltà nel rappresentare la fenomenologia dei segni da attribuire alle strutture fisico-matematiche che rappresentano i diversi campi vettoriali sta nel fatto
che la forza elettrostatica Fe può essere sia attrattiva sia
repulsiva, mentre la forza gravitazionale Fg è esclusivamente attrattiva.
Nel caso elettrostatico si è deciso poi che le linee di forza siano tracciate usando una carica piccolissima positiva q (+). In queste condizioni il campo elettrico
E, o il potenziale elettrico V, dipendono solo dalle cariche sorgenti (che sono positive) e non da altre cariche in
interazione con queste (che possono essere negative). Le linee di forza sono definite in modo da avere
lo stesso verso del campo elettrico (nascono nei punti contenenti carica positiva (+), o comunque a potenziale V più alto, e finiscono nei punti
contenenti carica negativa (-), o comunque a potenziale V più basso).
Tutte queste osservazioni valgono, come sempre in questi casi, a condizione che siano precedentemente definite delle precise e dettagliate limitazioni.
- In primo luogo le definizioni sopra dette hanno validità solo se è possibile effettuare una separazione tra masse (o cariche) sorgenti del campo e masse (o cariche) che subiscono l'azione del campo. Questa distinzione è possibile se le seconde sono molto più piccole, e quindi meno intense, delle prime (e quindi il campo generato da loro è così piccolo da essere considerato trascurabile rispetto al primo). Se viceversa tutte le masse (o le cariche) sono più o meno uguali, cioè hanno valori approssimativamente dello stesso ordine di grandezza, allora il campo che si deve considerare in questi casi è una sovrapposizione (sommatoria) dei campi generati da tutte le masse (o cariche) in gioco, siano esse sorgenti oppure che subiscono l'azione del campo.
- In secondo luogo dalla definizione univoca di campo deriva immediatamente che due linee di forza non possono mai intersecarsi, altrimenti verrebbe a perdersi il carattere di univocità che esse posseggono. Non è possibile avere in un medesimo punto due vettori che rappresentano lo stesso valore del campo.
- Altra limitazione è che le prime devono rimanere approssimativamente sempre ferme, senza muoversi e devono essere cariche o masse che non variano nel tempo (cariche o masse stazionarie) in modo tale che i relativi campi siano stazionari, chè se le cose non stessero così sarebbe necessario introdurre degli sviluppi che altererebbero la semplicità delle questioni fin qui dibattute.