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STRUTTURA DELLA PROVA
esempio n°1 esempio
n°2
DURATA DELLA PROVA E MATERIALE CONSENTITO
STRUTTURA
DEL TEMA DI MATEMATICA ALL’ESAME DI STATO
ESEMPIO 1
Il
candidato risolva, a sua scelta, uno dei due problemi e 5 fra i 10 quesiti del
questionario.
Problema 1
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(testo) |
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(Quesiti:) A) …………………………… B) …………………………… C) …………………………… D) …………………………… |
Problema 2
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(testo) |
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(Quesiti:) A)
………………………… B)
………………………… C)
………………………… D)
………………………… |
Questionario
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1)
………………………… |
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2)
………………………… |
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3)
………………………… |
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4)
………………………… |
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5)
………………………… |
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6)
………………………… |
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7)
………………………… |
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8)
………………………… |
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9)
………………………… |
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10)........................................ |
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La durata della prova è di 6
ore e nel corso di essa è consentito soltanto l’uso di calcolatrici non
programmabili.
Non è ammesso lasciare
l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla consegna della
copia con le tracce.
Il
candidato risolva, a sua scelta, uno dei due problemi e 5 fra i 10 quesiti del
questionario.
PROBLEMA
1.
In un piano sono assegnate una circonferenza k di diametro
AB, lungo 2, e una parabola p passante per A e avente per asse di simmetria il
diametro perpendicolare ad AB. Si sa che la parabola divide il cerchio
delimitato da k in due parti, la maggiore delle quali è 5 volte la minore.
Dopo
aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi
cartesiani:
1)
determinare l'equazione di k;
2)
determinare l'equazione di p;
3)
trovare le coordinate dei punti M ed N comuni alle curve k e p;
4)
trovare le equazioni delle rette tangenti a p nei punti M ed N;
5) stabilire com'è situato rispetto alla circonferenza il punto in cui
si secano le due rette tangenti trovate sopra.
PROBLEMA
2.
Considerata una sfera di diametro AB, lungo 2, per un punto P di tale
diametro si conduca il piano
a
perpendicolare ad esso e si ponga uguale ad x la
lunghezza di AP.
1) Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono
avente altezza AP e base il cerchio sezione di
a
con la sfera e il volume del segmento sferico
avente la medesima base e altezza PB.
2) Controllato che risulta:
d(x)
=
(2 - x) (2 x2 – x - 2),
si
studi la funzione d(x) e se ne disegni il grafico.
3) Si utilizzi questo grafico per calcolare i valori di x per i quali
d(x) = k , dove k è un parametro reale assegnato.
4) Si trovi, in particolare, la posizione di P per cui d(x) è massima.
QUESTIONARIO
1. Considerata la successione di
termine generale an =
, dove:
f(n)
=
… +
,
calcolare
e,
ricorrendo alla definizione, verificare il limite così trovato.
2.
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse
reale, tale che:
e
.
Di
ciascuno dei seguenti integrali:
,
,
,
,
dire
se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso
di risposta affermativa qual è questo.
3.
Si dimostri la formula della derivata del prodotto di due funzioni:
D[f(x)g(x)]
= f ’(x)g(x) + f(x)g’(x) .
4.
Si dimostri che il volume V di un segmento sferico ad una base, di raggio di
base r ed altezza h è dato dalla seguente formula:
.
5. Si dimostri la formula che
esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione xn, dove n è un
intero qualsiasi non nullo.
6. Un
trapezio rettangolo è circoscritto ad un semicerchio di raggio r in modo che la
base maggiore contenga il diametro. Si determinino i lati del trapezio sapendo
che il solido generato da esso quando ruota di un giro completo intorno alla
base maggiore ha il minimo volume.
7. Si conducano le rette tangenti
ad una parabola in due suoi punti distinti A e B. Si dimostri quindi la
relazione che sussiste fra l’area del triangolo mistilineo delimitato
dall’arco AB di parabola e dalle due tangenti suddette e l’area del segmento
parabolico individuato dalla corda AB, nel caso particolare in cui la retta AB
è perpendicolare all’asse di simmetria della parabola.
8. Si calcoli il valore del
seguente integrale:
.
9. Si
dimostri che ogni funzione f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
dove a,b,c,d sono valori reali con a
¹
0, ha un massimo e un minimo relativi oppure non
ha estremanti.
10. In un
piano cartesiano, l’insieme dei punti verificanti la condizione:
x
y – 3 x + 5 y – 15 = 0
è
costituito:
A.
dai punti (5, 0) e (0, -3);
B.
dai punti (-5, 0) e (0, 3);
C.
dall’intersezione delle rette di equazioni
x = -5 e
y = 3;
D.
dall’unione delle rette di equazioni
x = -5 e
y = 3;
E.
da una figura diversa dalle precedenti.
Una sola
risposta è corretta: individuarla fornendo una esauriente motivazione.
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La durata della prova è di 6 ore e nel corso di essa è consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla consegna della copia con le tracce.
Il candidato risolva, a sua scelta, uno dei seguenti problemi e dia le risposte a cinque quesiti del questionario:
Della
parabola
si hanno le seguenti
informazioni, tutte localizzate nel punto
:
,
,
.
a)
Determinata la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti ad essa
condotte per il punto P dell’asse y di modo che valga 60° l’angolo
, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza ;
b)
accertato che il punto P ha ordinata
, si scriva l’equazione della circonferenza passante per A, B e P ;
c) si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall’arco di parabola di estremi A e B.
Vincenzo Viviani (1622-1703) nell’opera De Maximis et Minimis, data alle stampe nel 1659, avvertì la necessità di inserire un problema a cui aveva dato soluzione e che era stato oggetto di studio anche da parte di altri più noti e valenti matematici del tempo.
Il problema è il seguente :
“ Dato un triangolo ABC, i cui angoli misurano ciascuno meno di 120°, trovare un punto X tale che la somma XA+XB+XC sia minima”.
La soluzione di Viviani, trovata, egli dice, non senza iterati sforzi, è questa : X è il punto, interno al triangolo, che “vede” o proietta i lati AB, BC, CA, sotto angoli di 120°.
Il problema conserva inalterata la sua importanza in quanto se i vertici A, B e C rappresentano, ad esempio, tre villaggi o città che si vogliono collegare tra loro, ragioni di convenienza potrebbero consigliare di realizzare la rete stradale minima.
Il candidato:
a) localizzi il punto X nell’ipotesi semplificatrice che la retta passante per C e per il punto medio M del segmento AB sia perpendicolare a tale segmento ;
b) dimostri che il punto X che realizza il minimo appartiene al segmento CM ;
c) introdotto un sistema di coordinate tale che C sia l’origine e CM coincida con l’asse x positivo e indicate con (a,b) e (x,0) rispettivamente le coordinate di A e di X, dimostri che s(x)=XA+XB+XC è data dalla formula :
d)
dimostri che se
, s(x) assume il minimo in
, mentre se
, s(x) assume il minimo in
;
e)
interpreti geometricamente il risultato confrontandolo con
l’enunciato e la soluzione, più generale, di Viviani.
1. illustrare il teorema di de L’Hôpital e applicarlo per dimostrare che:
;
2. determinare i valori dei parametri m ed n in modo che risulti:
e
che l’integrale fra 1 e 2 della stessa funzione sia doppio dell’integrale
precedente
3.
interpretare geometricamente la questione posta sopra.
4. Illustrare il problema classico della quadratura del cerchio, la cui impossibilità Dante Alighieri così evoca poeticamente :
“Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando,
quel principio ond’elli indige,
.....................................(Paradiso, c.XXXIII, vv.133-135)
5. Dare un esempio di funzione f(x) definita su tutto R ed ivi continua, tale che
6. determinare al variare del parametro k il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
7. Considerate le formule
e
che danno rispettivamente il volume di una sfera di raggio x e l’area di un cerchio sempre di raggio x se ne illustrino i risultati della derivazione rispetto a x.
8. dimostrare, utilizzando il teorema di Rolle, che se l’equazione :
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione :
9. Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera mostrare che quello di minima area laterale ha il suo vertice distante dalla superficie sferica della quantità r Ö 2, se r è il raggio della sfera.
10. chiarire il significato di n! (fattoriale di n) e il suo legame con i coefficienti binomiali.
Durata
massima della prova: 6 ore
E’ consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili
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