Derivate delle funzioni di una variabile.

 

Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si  basa il calcolo differenziale. 

I problemi di ordine pratico dal quale scaturì tale concetto sono dati dallo studio delle tangenti ad una curva e dallo studio della velocità. 

Problema della tangente.

Quando si parla di tangente ad una circonferenza il problema è abbastanza semplice dal momento che si intende per tangente in un punto quella retta che tocca la circonferenza in un suo punto ed è ivi perpendicolare al raggio. 

Quando al posto della circonferenza si prende una qualsiasi curva del piano cadono subito le caratteristiche della tangente ad una circonferenza, infatti la retta non ha più in comune con la curva un solo punto (potrebbe avere intersecato la curva in uno o più punti precedenti e/o intersecare in uno o più punti successivi a quello preso in considerazione), inoltre una curva generica non è una circonferenza e di conseguenza   non ha senso parlare di perpendicolarità al raggio.

Viene data la seguente definizione:

Chiamasi tangente ad una curva piana in un suo punto Po la posizione limite, se esiste, della retta  che congiunge il punto Po con un altro punto P1 della curva, al tendere di P1 a Po muovendosi sempre sulla curva.

                                                              

 

Ovviamente si può tracciare la tangente se si riesce a scrivere la sua equazione cartesiana. L’equazione di tale retta  sarà del tipo

y-f(x0) = m(x-x0)

dove x0 ef(xo) sono le coordinate del punto Po ed m è il coefficiente angolare della retta, ovvero m=tgw dove w è l’angolo che la tangente forma con il verso positivo dell’asse delle x.

Sulla curva y=f(x) prendiamo in considerazione il punto P1[xo+h,f(xo+h)], r, la retta che congiunge Po con P1 e a l’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse delle x.

Per la definizione di tangente che è stata data, la retta t rappresenta la posizione limite  della retta r al tendere di P1 a Po, muovendosi P1 sulla curva f(x) e perciò si ha: 

                                                       

da cui, visto che la tg per angoli diversi da 90° +k180 è una funzione continua

                                                     

ovvero, l’equivalente:

                                                       clip_image003b.gif (1187 byte) 

Dalla definizione di tangente si ottiene quindi:

                                         clip_image003c.gif (1612 byte)

per cui, 

(1)               clip_image003d.gif (1845 byte)        

  quindi il valore di m coincide con la tgw che corrisponde al valore del limite della formula precedente.

 Se il limite esiste ed è finito vuol dire che la tangente alla curva esiste, ed il suo coefficiente angolare è dato dalla formula (1).

 Sulla base delle precedenti considerazioni si può dare la seguente definizione:

 Chiamasi derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale

                                      clip_image003e.gif (1306 byte)

al tendere a zero dell’incremento h della variabile indipendente.

La derivata, in matematica viene indicata indifferentemente con le seguenti notazioni:

f’(x), y’(x), D[f(x)] .

 

Vale il seguente teorema:

Se una funzione è derivabile in un suo punto x0 è ivi anche continua.

Può non essere vero il viceversa, ovvero se una funzione è continua in un punto può non essere ivi derivabile.