TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI

Teorema di Rolle

Sia f(x) continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b) e sia inoltre f(a)=f(b). Sotto queste condizioni esiste almeno un punto c interno all’intervallo [a,b]  nel quale la derivata prima si annulla e cioè   f’(c) = 0. 

Vediamo il significato geometrico: 

Il caso limite è dato dalla f(x) coincidente con una retta parallela all’asse x in cui la funzione è costante e quindi in tutti i suoi punti la derivata prima è nulla. 

Teorema di Lagrange o del valor medio

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nei punti interni di questo intervallo; esiste allora almeno un punto c interno ad [a,b] nel quale risulti:

nel quale cioè la derivata prima sia uguale al rapporto incrementale della funzione f(x) nell’intervallo [a,b].

Se la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo [a,b], vuol dire che la funzione è dotata di derivata prima in tutti i punti dell’intervallo e quindi è dotata di tangente in tutti i punti dell’intervallo esclusi gli estremi, allora esiste almeno un punto c in cui la tangente è parallela alla corda
che unisce gli estremi dell’intervallo.                         

 Regola di de L’Hopital e le sue applicazioni

 Siano f(x) e g(x) due funzioni continue, nulle nel punto x’ e derivabili in x’; sia inoltre g’(x’) non nulla in x’. Allora se esiste finito o infinito il

Esiste anche il

E si ha

Il differenziale ed il suo significato geometrico

Se y=f(x) è una funzione derivabile in un punto x, chiamiamo differenziale della f(x) relativo al punto x ed all’incremento Dx il prodotto della derivata f’(x) per l’incremento  Dx.

Il differenziale viene indicato con i simboli: 

df(x) o dy 

Si ha dunque

1)     df(x)=f’(x)Dx.       

Consideriamo ora il differenziale della funzione f(x)=x allora df(x)=dx=1Dx=Dx quindi dx=Dx e cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della variabile indipendente e quindi la 1) diventa   e cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della variabile indipendente e quindi la 1) diventa  

df(x)=f’(x)dx

ovvero

FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI

Mediante lo studio del segno della derivata si può determinare se la funzione è crescente o decrescente. 

Ricordiamo che presi i punti a e b, con a<b, nell’intervallo di definizione di una funzione f(x), tale funzione  è crescente in (a,b) se si ha f(a)<f(b), è  decrescente se f(a) > f(b) . 

Consideriamo quindi una funzione crescente  nell’intervallo (a,b) e sia x un punto di tale intervallo 

Gli angoli che le tangenti nei punti P e Q formano con l’asse delle x sono acuti e per tali rette quindi il coefficiente angolare è positivo. Dal momento che la derivata prima di una curva, calcolata nel punto rappresenta proprio il coefficiente angolare della retta tangente si evince che la derivata prima in tali punti sarà positiva. Quindi si può affermare che se la derivata prima è positiva nell’intervallo allora la funzione è crescente. Analogamente, se la funzione è decrescente in un intervallo (a,b) l’angolo che la tangente alla curva forma con l’asse delle x è ottuso e quindi il suo coefficiente angolare sarà negativo. Quindi si può affermare che se la derivata prima nei punti dell’intervallo (a,b) è negativa la funzione è decrescente nell’intervallo (a,b).

Riassumendo

Se per         a < x < b       f’(x)>0                allora f(x) è crescente su (a,b)

Se per         a < x < b       f’(x)<0                allora f(x) è decrescente su (a,b).

Lo studio del segno porta facilmente alla determinazione dei punti di massimo e minimo di una funzione. 

Si dice che una funzione assume un massimo relativo in un punto x1 se preso un intorno del punto x1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo sono inferiori al valore assunto nel punto x1.

Analogamente si dice che  una funzione assume un minimo relativo in un punto x1 se preso un intorno del punto x1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo sono maggiori del valore assunto nel punto x1.

Se una funzione ha più punti di massimo relativo si può determinare il massimo assoluto della funzione considerando tra questi quello di valore più grande e verificando che negli estremi del dominio di esistenza della funzione la funzione stessa non assuma valori maggiori. (Il discorso è analogo per i punti di minimo assoluto). 

Vale il seguente teorema: 

Se x₀ è un punto di massimo o minimo relativo di una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) e se in tale punto la funzione è derivabile allora si ha

f’(x₀)=0

Infatti la tangente alla curva in un punto di massimo o minimo è parallela all’asse delle x ed ha coefficiente angolare = 0. 

In particolare se in x₀ la derivata prima è uguale a zero vale la seguente affermazione: 

se f’’(x₀ ) > 0 allora in x₀ la funzione ha un punto di minimo;

se f’’(x₀ ) < 0 allora in x₀ la funzione ha un punto di massimo;

se f’’(x₀ ) = 0 allora in x₀ la funzione ha un punto di flesso.

In generale tuttavia dallo studio del segno della derivata prima si evince che :

                                               Punto di minimo:

Si è in presenza di un punto di minimo per una funzione y=f(x), qualora nel punto la derivata  prima sia nulla e si verifichi la condizione che per x<x₀ allora f'(x)<0 e per x>x₀   allora  f'(x)>0, ovvero:

                                                Punto di massimo:

Si è in presenza di un punto di massimo per una funzione y=f(x), qualora nel punto la derivata  prima sia nulla e si verifichi la condizione che per x<x₀ allora f'(x)>0 e per x>x₀   allora  f'(x)<0, ovvero:

                                            Punto di flesso crescente:

Si è in presenza di un punto di flesso crescente per una funzione y=f(x), qualora nel punto la derivata  prima sia nulla e si verifichi la condizione che per x<x₀ allora f'(x)>0 e per x>x₀   allora  f'(x)>0, ovvero:

                                            Punto di flesso decrescente:

Si è in presenza di un punto di flesso decrescente per una funzione y=f(x), qualora nel punto la derivata  prima sia nulla e si verifichi la condizione che per x<x₀ allora f'(x)<0 e per x>x₀   allora  f'(x)<0, ovvero: