INGEGNERIA SISMICA - CALCOLO AUTOMATICO
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Richiami all’ analisi della risposta sismica delle strutture.

Si confrontano brevemente, alla luce di esempi pratici, i diversi metodi che, nella maggior parte delle normative vigenti, sono indicati per lo studio della risposta sismica degli edifici. I metodi in questione sono raggruppati in tre categorie:

• Analisi statica equivalente
• Analisi dello spettro di risposta
• Analisi dinamica nel transitorio.

La cosiddetta ‘analisi statica equivalente’ è la sola a poter essere affrontata con il calcolo manuale, ed è anche quella più facile da eseguire. Essa è stata quindi quella impiegata più estesamente dagli ingegneri, almeno sino a quando non sono divenute disponibili, ed accessibili risorse di calcolo adeguate (elaboratori e software). L’analisi statica equivalente ha comunque tutt’oggi una validita indiscutibile, almeno in sede di predimensionamento delle strutture.

Oggi possono per= essere impiegati con utilità metodi di verifica più fini, quali l’analisi dello spettro di risposta o addirittura l’analisi della risposta dinamica nel transitorio. Nel seguito, discutendo di questi ultimi due metodi si farà riferimento a quanto contenuto nell’ Eurocodice 8 ENV 1998 e nella normativa australiana AS1170.4 – 1993.

Prima di descrivere i singoli tipi di analisi consentiti, sembra opportuno parlare dei metodi di quantificazione dell’azione sismica utilizzati internazionalmente.

E’ di uso comune parlare di un evento sismico in termini di ‘scala Ricther’ o ‘scala Mercalli’. L’ indice Richter per un dato terremoto e’ il logaritmo in base 10 del massimo spostamento verificatosi, misurato in micrometri con un sismografo Wood-Anderson e corretto in una distanza di 100 km. Eventi sismici con indice maggiore di 5 possono provocare danni a strutture.

L’ approccio seguito dalla scala Mercalli (Modified Mercalli), invece, e’ quello di dare una descrizione qualitativa dei danni provocati dal sisma, distinti in una scala di dodici valori, in cui al primo grado corrisponde un sisma non avvertito da alcuno, ed al dodicesimo grado la distruzione totale.

Entrambe i metodi non risultano adeguati a trattare il problema dal punto di vista del calcolo. Per arrivare a questo conviene riferire alla risposta dinamica di un sistema ad un grado di libertà.

Spesso si conosce, per misura diretta, l’accelerogramma provocato da un sisma. Per passare da questo ad informazioni utilizzabili nel calcolo della risposta di un edificio si fa riferimento alla risposta dell’oscillatore semplice (sistema ad un grado di libertà), immaginando di ‘scomporre’ poi la risposta di una struttura, in quella di tanti ‘oscillatori’ distinti, caratterizzati ciascuno da una propria frequenza (una delle frequenze naturali della struttura stessa).

Per ciascun oscillatore semplice, occorre determinare anzitutto la risposta massima (in termini di accelerazione, velocità e spostamento) all’ eccitazione dinamica imposta.

Il comportamento dinamico di un oscillatore semplice (sistema ad un grado di liberta’) soggetto ad un’accelerazione alla base e’ espresso dalla seguente equazione differenziale:

dove x e’ il coefficiente di smorzamento ( < 0.1) , w la frequenza naturale e a(t) l’accelerogramma assegmato.

E’ facile risolvere nel dominio del tempo questa equazione nel dominio del tempo, sia con metodi analitici (integrale di convoluzione) sia numericamente (differenze finite). Nel secondo caso è necessario scegliere un passo temporale opportuno, sia in relazione al metodo impiegato, sia in relazione all’accelerogramma trattato.

Se si calcola così il valore massimo per una o più delle grandezze in esame (accelerazione, velocità o spostamento) nell’intervallo di tempo e per il valore di smorzamento considerato, e si immagina di ripetere all’infinito questa operazione variando di volta in volta le caratteristiche dell’oscillatore semplice (e, quindi, la sua frequenza propria), si ottiene il cosiddetto ‘spettro di risposta dell’oscillatore semplice’ (in termini di accelerazioni, velocità o spostamenti), espresso normalmente in funzione della frequenza propria dell’oscillatore semplice, o del reciproco di questa (il periodo proprio).

Si utilizzano, nella pratica, ulteriori ‘manipolazioni’ dello spettro così ottenuto: si procede, in particolare, immaginando di ricavare infiniti spettri di risposta corrispondenti ad infiniti accelerogrammi plausibili per il sito in esame, e di considerarne l’inviluppo: questo risulta allora caratteristico del sito ove è ubicato o sarà ubicato l’edificio in esame.

Ovviamente il procedimento descritto è possibile solo in via teorica: praticamente si fa riferimento a spettri di risposta convenzionali, che tengono conto, in qualche modo, di caratteristiche medie dei siti. Nel caso di strutture di particolare importanza è possibile, comunque svolgere il procedimento appena indicato – ovviamente per un numero finito di accelerogrammi – e ricavare, con ulteriori considerazioni e conoscenze di carattere geologico e geotecnico, spettri di risposta più appropriati.

L’analisi statica equivalente (negli Euricodici sotto il nome di ‘Analisi modale semplificata con spettro di risposta’) puo’ essere effettuata su edifici che presentano le seguenti caratteristiche:

• Regolarita’ strutturale (riguardante sia pianta che elevazione)
• Periodo proprio fondamentale inferiore a 2.0 secondi

Il primo requisito rende i primi modi propri di vibrare della struttura assimilabili a quelli di una mensola, con probabile interessamento della quasi totalita’ della massa dell’edificio, portando ad escludere effetti legati a frequenze fondamentali di tipo torsionale, o ad accoppiamento tra modi flessionali e torsionali caratterizzati da frequenze vicine.

Il secondo requisito porta l’ Eurocodice a considerare che gli spostamenti ai piani (e le relative ‘forze sismiche’) crescano linearmente con la distanza dal suolo (a differenza della norma AS1170.4 che fa adottare, per questo tipo di analisi, una distribuzione quadratica di forze e spostamenti ai piani).

La forza di taglio totale alla base dell’edificio viene determinata moltiplicando i carichi permanenti (ai quali viene aggiunta una certa aliquota degli accidentali) per il valore dello spettro di progetto corrispondentemente alla frequenza fondamentale della struttura in questione:

Tale frequenza deve essere calcolata o stimata con un metodo di riconosciuta validita’. Le normative forniscono formule approssimative per questo calcolo.

La forza di taglio totale sismica alla base viene quindi ripartita su ogni piano tramite il coefficiente di ripartizione dato da:

in cui z rappresenta l’altezza del piano considerato e W_i la componente della forza gravitazionale afferente al piano i-esimo. Qualora le masse relative ai vari piani siano uguali, risulta evidente la distribuzione lineare.

La AS1170.4 consente di distribuire la forza di taglio alla base anche per le strutture il cui periodo fondamentale sia maggiore di 2.0 secondi, utilizzando il seguente coefficiente di ripartizione:

Nella progettazione secondi gli Eurocodici, va tenuto conto di un effetto di torsione, cui partecipano solo i carichi accidentali, trattato mediante un coefficiente che tiene conto dell’eccentricità dei carichi rispetto al baricentro dell’edificio.

La normativa Australiana permette invece di calcolare coerentemente un momento torcente di piano (per edifici di relativa importanza), moltiplicando l’azione calcolata per l’effettiva eccentricita’ tra il centro di taglio e il centro d’ingombro, con correzioni che tengono in contro gli effetti dinamici e le eccentricita’ accidentali.

L’analisi che segue e’ semplicemente elastica lineare, con combinazioni che tengono in conto la possibilita’ che l’evento sismico abbia come direzione una qualunque combinazione delle due direzioni di rigidezza principali (in pianta) dell’edificio. Si noti come la soluzione finale per la combinazione sismica sia equilibrata.

L’analisi dello spettro di risposta consente uno studio più accurato di quello ottenibile con l’analisi statica equivalente, per una tipologia più generale di strutture. Per la sua applicazione sono necessarie alcune ipotesi:

• Comportamento lineare della struttura (sia per materiale che per geometria)
• Valore modesto dello smorzamento

La seconda ipotesi è dovuta al fatto che lo smorzamento e’ trascurato nel calcolo delle frequenze naturali. Per dare un’ordine di grandezza dell’errore presente, si osserva che, per un sistema ad un grado di liberta’, ad esempio, la frequenza fondamentale in presenza di smorzamento e’:

Se quindi il coefficiente di smorzamento (espresso come rapporto rispetto allo smorzamento critico) e’ minore di 0.1 la differenza tra le due frequenze e’ al piu’ 0.5%.

Nel seguito si da un breve cenno a come l’analisi dello spettro di risposta è trattata nei codici di calcolo. Una volta calcolati le frequenze proprie (ed i relativi modi) di interessa della struttura, le equazioni del moto risultano ‘disaccoppiate’: è come se ne scrivesse una per ciascuna frequenza propria (cioè per ciascun ‘oscillatore semplice’):

dove y e’ il vettore delle coordinate modali e K’ e’ la matrice di rigidezza normalizzata. A questo punto si aggiunge lo smorzamento ad ognuna delle equazioni e la forzante e’ scelta come il valore dello spettro di progetto corrispondentemente alla frequenza del singolo oscillatore.

Nel caso in cui lo spettro sia in termini di accelerazioni (lo stesso sarebbe per le velocità o gli spostamenti) la forzante assume la forma:

con f _i autovalore i-esimo, M matrice delle masse, r vettore di direzione del sisma e S_i ordinata dello spettro di risposta per la frequenza indagata

Se infine lo spettro di progetto si riferisce al valore del carico applicato, la forzante diventa:

con R vettore di carico per una particolare condizione.

Le equazioni disaccoppiate del moto così ricavate vengono risolte in modo semplice, e la soluzione ritrasformata in coordinate fisiche.

Per ottenere una risposta accurata da un’analisi spettrale, deve essere tenuto in conto un numero di modi propri adeguato. Le norme indicano come ‘adeguato’ il numero di tanti modi quanti sono sufficienti ad eccitare almeno il 90% della massa totale del sistema.

Merita fare un commento al caso di sisma con accelerazione verticale.

Le frequenze proprie di vibrazione della struttura in senso verticale possono essere raggruppate in due ‘famiglie’:

• quelle relative agli orizzontamenti (travi, solai), presenti in un intervallo di valori relativamente bassi (perché di tipo flessionale/locale), ma ‘catturabili’ solo a patto che il modello sviluppato consenta di individuarle;
• quelle relative alle vibrazioni assiali delle strutture verticali (pilastri, mensole di controvento, etc.), presenti in un intervallo piuttosto ampio di valori relativamente alti (o molto alti), in genere comunque ‘catturabili’ dai modelli (posto di spingere avanti la soluzione), per la modalità con cui questi vengono pensati ‘naturalmente’ dagli ingegneri.

Complessivamente:

• per eccitare ‘formalmente’ oltre il 90% della massa in senso verticale, nei modelli comunemente messi a punto dagli ingegneri, occorrerebbe (quasi sempre) estrarre un numero molto elevato di frequenze, incorrendo anche in complicazioni di carattere numerico;
• le frequenze che si ricavano in questo modo dipendono molto da come è fatto il modello (e le considerazioni di tipo ‘intuitivo’ possono non essere sufficienti)
• (c’è da chiedersi se le accelerazioni di tipo ‘verticale’ esistano).

In senso pratico:

• se il modello è pensato per registrare l’effetto di accelerazioni di tipo orizzontale, è meglio non accanirsi con il calcolo della risposta ad accelerazioni in senso verticale (accontentandosi di eccitare frazioni della massa)
• se la struttura presenta componenti che possono essere interessate da sismi con accelerazioni in verticale (e.g. sbalzi), è bene specializzare il modello di conseguenza, o tenere più facilmente (e, tutto sommato, più razionalmente) in conto questi effetti con assunzioni di tipo ‘statico’.

E’ poi evidente che, nella combinazione tra azioni verticali ed azioni orizzontali, la risposta di ‘travi’ e ‘pilastri’ è ben diversa: per questi ultimi un incremento di carico verticale pu= essere di aiuto, anziché di danno.

Per approfondire la discussione su questo tema, ci si riferisca all’esempio seguente.

Si consideri la struttura a portale evidenziata in figura soggetta ad un sisma con direzione verticale. Essa e’ un semplice telaio piano di altezza 6 m, larghezza 5 m.

Per tale struttura le frequenze naturali che, in caso di sisma verticale, ‘eccitano’ la maggior parte delle masse sono le seguenti:

come si pu= affermare dopo aver lanciato in Straus7 lo ‘Spectral Solver’ ed aver calcolato la massa eccitata in corrispondenza di ciascun modo, come si pu= vedere dall’estratto del Log file.

Si vede come il modo 14 coinvolge circa il 64% delle masse, ed è associato all’oscillazione assiale dei pilastri.

Sono state analizzate due soluzioni spettrali: nella prima si sono inclusi solo i modi 2 e 4, con un valore del ‘total mass participation’ di solo il 22.5%; nella seconda sono stati inclusi i modi 2, 4 e 14 , raggiungendo l’86.42% di massa partecipata.

Come si puo’ vedere dai risultati in termini di spostamenti le due soluzioni sono praticamente coincidenti. Questo perche’ l’ampiezza di oscillazione assiale delle colonne e’ estremamente piccola se comparata a quella flessionale della trave. Lo si dimostra nella figura seguente.

Una volta analizzata la risposta della struttura nei singoli modi di vibrare, occorre combinare i risultati per ottenere la massima sollecitazione possibile (o il massimo spostamento se interessano gli stati limiti di utilizzo). Questo problema non e’ di facile soluzione in quanto nell’istante in cui un modo raggiunge massima ampiezza, un altro puo’ avere ampiezza molto inferiore rispetto al proprio massimo: in generale è estremamente improbabile che tutti i modi siano in fase, e se lo sono, lo sono comunque per un solo istante. La semplice sovrapposizione dei risultati (cioè la loro somma diretta) si traduce quindi in una sovrastima dei valori, che pu= risultare anche considerevole, se la massa partecipata è ‘distribuita’ su un certo numero di modi.

Una combinazione frequentemente adottata è quella cosiddetta SRSS (o radice quadrata della somma dei quadrati) in cui per risposta massima viene intesa la norma euclidea delle risposte corrispondentemente ai singloli modi :

Tale modalita’ di combinazione e’ ritenuta valida dalle norme solo se le singole frequenze allo studio sono sufficientemente distanziate, dando più precisamente limiti del tipo: se f_i e f_j sono du frequenze successive con f_i < f_j deve essere f_i < 0.9f_j . Infatti, se due (o più) frequenze sono tra loro abbastanza vicine, la probabilità (in senso ‘ingegneristico’) che esse sia in fase è maggiore (è maggiore l’intervallo temporale in cui esse possono essere prossime ad essere in fase).

Per tener conto di questo aspetto, è proposta la combinazione di tipo CQC (o combinazione quadratica completa:

La combinazione di tipo CQC e’ una generalizzazione di quella SRSS, con cui coincide nel caso in cui le frequenze siano sufficientemente distanziate tra loro.

E’ importante notare come la combinazione finale sia in generale non equilibrata: i ‘massimi’ ottenuti con le combinazioni appena descritte, sono relativi a combinazioni di valori che riferiscono, per gli elementi concorrenti in un punto, ad istanti diversi.

Si tratta del metodo che, sotto il profilo teorico, è più corretto, poiché tratta la risposta della struttura nel dominio del tempo, relativamente all’azione di un accelerogramma di progetto. Non sono più necessarie le ipotesi fatte in precedenza circa la linearità e gli effeti dello smorzamento. Le varie non-linearità, quali le non-linearità legate al materiale materiale (ad esempio formazione di cerniere plastiche negli elementi inflessi) od alla geometria (e.g. comportamento di sistemi composti di funi) possono essere tenute in conto senza necessità di ulteriori approssimazioni.

Unico punto dolente e’ il tempo di soluzione. Utilizzando infatti un solutore di tipo implicito (incondizionatamente stabile) occorre risolvere un sistema lineare per ogni passo temporale. In presenza di non linearita’ il tempo aumenta considerevolmente a causa delle iterazioni che portano alla configurazione equalibrata.

Utilizzando peraltro un solutore di tipo esplicito, il tempo per la determinazione del singolo passo temporale e’ estremamente breve, ma la stabilita’ del metodo e’ assicurata solamente per incrementi di tempo piuttosto contenuti.

Nel seguente esempio si vogliono applicare i tre tipi di analisi descritti ad un edificio, per una comparazione critica sia dei risultati sia della mole di calcolo preparatorio richiesta da ciascuno.

La geometria dell’edificio e’ descritta nel seguito:

Prima di iniziare le calcolazioni per l’analisi statica occorre determinare lo spettro di progetto a cui riferirsi. Esso viene ricavato direttamente dall’accelerogramma corrispondente al famoso terremoto di El Centro, in figura, e per semplicita’ non viene applicato alcun coefficiente correttivo.

Utilizzando uno schema alle differenze finite per la risoluzione dell’equazione corrispondente ad un singolo grado di liberta’ (si e’ scelto lo schema generale di collocation con cefficienti g = 0.5 e b = 0.25) e considerando un rapporto di smorzamento del 5% si ottiene lo spettro voluto.

Nel grafico in figura sono posti a confronto lo spettro ottenuto da calcolazioni dirette con quello offerto dall’Eurocodice 8 per un terreno aventi caratteristiche classificabili come A.

All’edificio scelto vengono ora applicate opportune forze statiche per simulare l’effetto flessionale e torsionale del sisma. Sebbene le carattistiche di regolarita’ espresse nell’Eurocodice 8 non siano soddisfatte (in particolare il vano scala controventante in calcestruzzo armato e’ disposto in posizione non simmetrica), sono introdotti momenti torcenti di piano in accordo alla normativa australiana.

Il primo passo necessario e’ la determinazione della frequenza fondamentale dell’edificio. L’analisi delle frequenze naturali dell’edificio, restituisce i seguenti valori:

• Primo periodo (Flessionale): 0.73435 s
• Secondo periodo (Flesso-Torsionale): 0.676 s

Su tali frequenze e’ stato inoltre effettuato uno studio di convergenza, infittendo progressivamente la mesh.

La somma dei carichi gravitazionali totali e’ di circa 705 T. Considerando il valore dello spettro di risposta, calcolato e prescritto, corrispondente ai periodi calcolati si ottiene il seguente valore dello sforzo di taglio massimo alla base:

 

Sforzo di Taglio alla Base [kN]
	Spettro Calcolato	Eurocodice 8
Primo Periodo	1205.55	9165
Secondo Periodo	1205.55	9870

Tale forza va dunque distribuita linearmente con l’altezza secondo la formula:

Ripetendo le calcolazioni per la frequenza naturale relativa al sisma nella direzione ortogonale (che genera torsione) si ha:

Per la rappresentazione degli effetti torsionali e’ importante calcolare l’eccentricita’ tra il baricentro geometrico (baricentro della pianta) ed il centro di taglio dell’edificio.

Il centro di taglio e’ esprimibile utilizzando la seguente formulazione:

Ove I_x,i e’ il momento d’inerzia del singolo elemento strutturale (distante x_i dal riferimento) rispetto al proprio baricentro.

L’eccentricità ricavata risulta: e = 4.66 m

Si possono ora applicare le forze statiche equivalenti e verificare le sollecitazioni sui vari elementi strutturali.

Una volta individuato lo spettro di progetto, occorre semplicemente impostare gli opportuni parametri del solutore.

Permette di specificare a quale tipo di forzante esterna corrisponde lo spettro di risposta scelto.

Si pu= scegliere tra due tipi di smorzamento: smorzamento di Rayleigh e smorzamento modale. Nel caso di smorzamento modale si pu= precisare direttamente per ogni frequenza naturale lo smorzamento da applicare.

Scegliendo ‘Rayleigh’ lo smorzamento del sistema viene definito come una combinazione della sua massa e della sua rigidezza. Tale approccio attribuisce lo smorzamento a ciascuna frequenza propria secondo una legge quadratica, definita utilizzando due punti (coppie frequenza, rapporto di smorzamento).

Esso rappresenta il vettore di direzione del sisma. Se lo spettro e’ normalizzato deve essere incluso il valore di picco.

Tale finestra di dialogo consente di specificare, in forma tabulare, quali modi devono essere inclusi, la curva spettrale relativa, ed il rapporto di smorzamento opportuno.

Per operare un’analisi dinamica nel transitorio e’ necessario specificare la storia di accelerazione alla base dell’edificio e specificare i parametri rilevati nella finestra di dialogo del solutore.

Tale finestra di dialogo consente di specificare la storia dell’accelerazione esterna oltre che la direzione di riferimento. Si puo’ inoltre scegliere se si vogliono i risultati (grandezze cinematiche) espressi in valore assoluto o relativamente a quelli alla base della struttura. Ovviamente parametri di sollecitazione e tensioni non cambiano con questa scelta.

I risultati ottenuti dalle singole analisi sono confrontati sul valore del massimo momento flettente nelle due direzioni principali, in senso assoluto, e relativamente a quelli del pilastro più sollecitato nell’analisi dinamica nel transitorio.

Sia per l’analisi spettrale che per l’analisi statica equivalente sono stati considerati due valori per lo spettro di progetto.

Risulta evidente come utilizzando lo spettro calcolato direttamente dalla storia delle accelerazioni si sottostimino i valori delle sollecitazioni flettenti. Se infatti i massimi di accelerazione relativi a due oscillatori differenti capitano allo stesso momento e sono in fase, essi vengono sommati nell’analisi dinamica transitoria, e combinati SRSS dalla spettrale (il risultato e’ quindi minore).

Dal caso presentato, si evince che, da un punto di vista di accuratezza, una seconda scelta dopo l’analisi della risposta nel transitorio e' senz’altro quella dello spettro di risposta, che produce, con tempi di calcolo molto inferiori, risultati conservativi. Essa consente inoltre di evitare il calcolo manuale del sistema di forze statiche equivalenti, come anche quello di grandezze geometriche, quali il centro di taglio.

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