EFFETTO PELLE  

Finora le equazioni di Maxwell sono state illustrate analizzando il comportamento dei campi elettromagnetici in materiali essenzialmente dielettrici, un'altra classe molto importante di materiali presenti nei problemi di elettromagnetismo è quella dei buoni conduttori, caratterizzati da un alto valore di conducibilità, per questi è valida la legge di Ohm  J = σ E (corrente di conduzione) . Si affronta quindi un altro argomento fondamentale: Cosa succede al campo elettromagnetico nei conduttori?

Partiamo come al solito dalle equazioni di Maxwell :          Ñ x H  =  j + ∂D\∂t                   

Che diventa considerando un conduttore :                          Ñ x H  =  σ E + ∂D\∂t 

In regime sinusoidale si ottiene                                           Ñ x H  =  σ E + j ω ε E

La corrente di Conduzione e la corrente di spostamento come sono nello spazio e nel tempo?

Nello spazio sono parallele,mentre nel tempo sono sfasate di π\2 infatti ricordiamo che j=exp(+j π\2) quindi la corrente di spostamento è in anticipo sulla corrente di conduzione.

Definiamo un conduttore : E’ QUEL MATERIALE PER CUI LA CORRENTE DI CONDUZIONE E’ MOLTO GRANDE RISPETTO ALLA CORRENTE DI SPOSTAMENTO   (σ >> ω ε)

IMPORTANTE: come possiamo vedere la corrente di spostamento varia con la frequenza, perciò solo conoscendo la frequenza possiamo dire se quella relazione si verifica, e quindi se la C.di C.>>C.di S.

Considerare un conduttore puro significa quindi trascurare il termine piu’ piccolo, nonchè la Corrente di spostamento perciò si ha :       

Ñ x H  =  σ E

Consideriamo ora l’altra equazione :             Ñ x  E  =  - j ω μ H        

Come per il caso dei mezzi dielettrici si era giunti alla determinazione dell’equazione d’onda, ora determiniamo per il caso di mezzi conduttori la risultante equazione d’onda,(attraverso trasformazioni) otteniamo :

EQUAZIONE D’ONDA  CAMPO ELETTRICO  nel cond.                     Ѳ E  - j  ω μ  σ E = 0

EQUAZIONE D’ONDA  CAMPO MAGNETICO  nel cond.                   Ѳ H  - j  ω μ  σ H = 0

EQUAZIONE D’ONDA  DENSITA DI CORRENTE  nel cond.              Ѳ H  - j  ω μ  J = 0

Ricordiamo che l’operatore Laplaciano si scompone nelle 3 componenti x,y,z, rappresenta la somma delle derivate seconde rispetto ad x, ad y, e z . In un certo senso abbiamo quindi trovato le equazioni che determinano l’andamento dei campi all’interno del conduttore, nonche la penetrazione (propagazione) dei campi nei conduttori.

Cerchiamo di studiare il caso piu’ semplice ipotizzando che il conduttore in questione sia un piano indefinito (una figura lunga z, larga y, profonda x), la corrente su questo piano sia uniforme e diretta in una sola direzione, questo perché c’è una sorgente che genera una corrente uniforme (la sorgente potrebbe essere un onda piana che incide normalmente),in poche parole un onda piana incide normalmente sul piano generando una corrente uniforme.La corrente J ha un'unica componente (Jz) perciò delle 3 componenti del campo E esisterà solo Ez ottenendo :

d²Ez\dx² = j ω μ  σ Ez

Dopo aver fatto queste ipotesi per semplificare l’equazione possiamo determinare la sua soluzione:

Ez = c1 e^-τx + c2 e^+τx

Ricordiamo che τ = ±(1+j) \ δ    e  δ = 1\√f μ σ π  [m](Profondità di penetrazione dell’onde nel mezzo)

Sommerfeld ci ricorda che ogni campo elettromagnetico fisicamente realizzabile deve andare a 0 come 1\r, da ciò possiamo costatare che tra i due termini solo quello moltiplicato a c1 può essere accettato (lim_x+∞c1 e^-τx =0)mentre l’altro termine deve essere eliminato perciò otteniamo :

Ez = c1 e^-τx    (c1 rappresenta il campo elettrico sulla superficie  (x=0)) perciò  Ez = E0 e^-τx

Allo stesso modo otteniamo la soluzione per il campo Magnetico :

Hy = H0 e^-τx

Ed una soluzione per la densità di corrente j :

J= J0 e^{-x\ δ} e^{-jx\ δ}

Conclusioni : Ogni materiale conduttore, ad ogni frequenza, ha una profondità di penetrazione che è quella per cui il campo si riduce ad 1\e di quello in superficie. L’ampiezza dei campi incidenti decrescono esponenzialmente durante la penetrazione nel conduttore, la corrente è dunque max.in superficie,mentre diminuisce in profondità sfasando in ritardo (-j) rispetto alle correnti di superficie. Essendoci uno sfasamento in ritardo della corrente, significa che il conduttore non presenta solo una minima resistenza ma anche un induttanza.

La corrente totale è data dall’integrale della densità di corrente da 0 a ∞ .

I(z) = ∫ | J0| e^{-x\ δ} e^{-jx\ δ}          I(z) =| J0|  (δ\1+j)

Il Campo elettrico vale (ricorda che J= σ E) :

|Ez0|  =  |J0| \ σ

Facendo ora il rapporto Tensione\Corrente = Resistenza

Z0 = Ez0 \ I(z) = ……..= Rs + jωLs

Un conduttore, non si comporta come una resistenza pura, ma come una resistenza con in serie una conduttanza,