LINEE
DI TRASMISSIONE E STRUTTURE COASSIALI
PREMESSA E CONDIZIONI INIZIALI :
Esaminiamo due situazioni classiche :
Nel primo circuito si considera un’alimentazione continua. Volendo calcolare la tensione ai capi di una delle due resistenze il calcolo è il seguente :
I = 1 volt \ 2 ohm = 0,5 Amper VAB = I x R = 0,5 Volt (ΦB – ΦA)
Nel secondo circuito si considera un’alimentazione sinusoidale e perciò variabile nel tempo.Volendo calcolare la tensione ai capi della resistenza, le cose si complicano un po’:
La f.e.m. del generatore vale :
E = - ∂A\∂t -ÑΦ
Sappiamo che Φ dipende dalla distribuzione di carica e A dipende dalla distribuzione di corrente, sappiamo anche che tra loro queste distribuzioni sono legate dall’equazione di continuità:
EQUAZIONE DI CONTINUITA Ñ· J + ∂ρ\∂t = 0
Allo stesso modo sappiamo che i Potenziali sono legati tra loro dall’equazione di Lorentz:
SCELTA DI LORENTZ Ñ A + μ ε ∂ Φ \∂t = 0
Consideriamo il collegamento con il carico tramite cavo coassiale (questa scelta è stata fatta per alcuni motivi)
1) E’ una struttura di semplice configurazione geometrica, il campo E tende a zero come 1\r ed è max. al centro
2) E’ una struttura di notevole impiego, il campo H è formato da circonferenze concentriche al conduttore centrale e vale in ogni punto I\2πr con r = distanza dal centro.
Supponiamo quindi di avere un generatore che alimenta un cavo coassiale, ci si chiede se è possibile misurare la tensione tra A e B . Il problema lo si affronta risolvendo Maxwell
Si ottiene integrando da A a B : VAB = ∫ E dL = - ∫ (∂A\∂t -ÑΦ) dL = (ΦB – ΦA) + (∂\∂t ∫ A dL )
Conclusioni: Il potenziale in AB non dipende solo dal potenziale in B e dal potenziale in A come si faceva in continua, ma dipende anche dall’integrale scritto precedentemente.perciò il concetto di tensione tra due punti se non si è in continua non ha senso fisico.
Precisiamo meglio: in continua e in bassa frequenza è possibile trascurare il secondo termine (l’integrale).
In realtà cosa rappresenta questo termine? Tramite alcune trasformazioni partendo da Maxwell possiamo dire che (∂\∂t ∫ A dL ) dipende esclusivamente dal cammino di integrazione, dal flusso concatenato all’interno dell’integrazione e dalla frequenza.
Esiste il caso in cui la tensione ha un significato ben preciso ?
Tra due punti del cavo coassiale non si può parlare di tensione, il campo magnetico è formato da tante circonferenze coassiali col cavo (H = I \ 2π r)
Considerando due punti che non stanno sulla stessa sezione (A , B) si instaura un flusso concatenato nella sezione descritta dal percorso A,B,
Considerando due punti che stanno sulla stessa sezione (A , B’) ci si accorge che questa volta andando da A a B’ con una linea e tornando da B’ ad A lungo un'altra linea il flusso è zero, perché sappiamo che in quella direzione H = 0 in quanto il campo H è parallelo al percorso eseguito.
- Se nel cavo si considera la tensione tra due punti della stessa sezione, tale tensione è possibile determinarla, perche non c’è flusso concatenato con quella tensione cioè (∂\∂t ∫ B dS = 0)
- Se Ez = Hz = 0 cioè si è in una struttura che ha tutti i campi nella sezione traversa alla struttura(e quindi non esistono campi lungo la direzione di propagazione Ez=Hz=0) si dice che si è in presenza di un MODO TEM.
VAB = ∫ E
dL = (ΦB
– ΦA) + 0
In questo modo è possibile stabilire che la tensione tra i punti A e B sarà solo funzione di (Z) e del tempo (t) lo stesso possiamo dire per la corrente, perciò invece di usare le equazioni di Maxwell, si può descrivere la propagazione all’interno della struttura solo in termini di (V) ed (I)
- La condizione Ez=0 significa che per non avere componenti del campo (E) lungo (Z) si deve ipotizzare che i conduttori siano ideali (in elettrostatica il campo E interno ai conduttori è nullo E=0 vuol dire σ=∞) Quindi la TEORIA DELLE LINEE verrà sviluppata ipotizzando che i conduttori siano ideali.
- Affinché Ez=0, il conduttore deve essere a sezione costante, altrimenti non risulterà piu’ (E) completamente Traverso, ma si formeranno componenti lungo (Z)
- La TEORIA DELLE LINEE vale dunque se :
CONDUTTORE
IDEALE (σ = ∞)
LA
STRUTTURA NON VARIA LUNGO Z,MA RIMANE COSTANTE
LA CORRENTE CIRCOLA IN UN VERSO NEL CONDUTTORE (A) MENTRE NEL VERSO OPPOSTO NEL (B)
IL CAMPO
(E) E’ SEMPRE NORMALE AI CONDUTTORI
IL CAMPO (H) E’ TANGENTE AL CONDUTTORE, ESSO GIRA IN UN VERSO NEL COND.
(A) E NEL SENSO OPPOSTO NEL COND. (B), PERCHE LA CORRENTE SCORRE IN DIREZIONI OPPOSTE
ESEMPIO CAVO COASSIALE : Determiniamo ora la Capacità e l’induttanza per unità di lunghezza (per 1 metro), sappiamo che data una corrente circolante nel conduttore si origina un campo magnetico diretto lungo φ che vale :
H φ = I \ 2π r
Il flusso B invece sarà uguale all’integrazione da (0) a (1metro) lungo φ e da (a) a (b) lungo r di μ H φ,dove a=raggio conduttore interno,e b=raggio conduttore esterno, perciò :
Φm = ∫ B dS = ∫ dz ∫ μ (I \ 2π r) dr = ∫ μ (I \ 2π r) dr = μ (I \ 2π) ln (b\a)
L’induttanza è quindi data da: L = (μ0\2π) ln (b\a) [H\m]
Sapendo che LC = ε0μ0 si ottiene che : C = ε0μ0 \ L = 2π ε0 \ ln (b\a) [F\m]
ESEMPIO CAVO BIFILARE : In questo caso si deve calcolare il flusso concatenato tra i due conduttori, per la lunghezza di 1 metro, dobbiamo dire che però non ha molto senso sommare i contributi di campo H dovuto ad ognuno dei conduttori(sovrapposizione degli effetti), perché avendo i due conduttori molto vicini,il primo alterata la distribuzione di (I) del secondo,e quindi non è piu vero che il sistema è a simmetria cilindrica,in ogni modo abbiamo l’unica possibilità e percio l’applichiamo :
Hy(x,0) ~ I\2 π (d+x) + I\2 π (d-x)
La relazione scritta vale per conduttori lontani,nel caso invece di conduttori molto vicini la si deve considerare approssimativa per i motivi sopra citati, attraverso l’integrazione del campo H da (-d+a) a (d-a) ottengo il flusso magnetico:
Φm = μ I\2 π ∫ [(1\d+x) +(1\d-x)]
Si ricava l’induttanza attraverso la seguente equazione : L ~ Φm \ I = μ\ π ln [(2d\a)-1)]
