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Grandezze scalari

Grandezze vettoriali

Somma e differenza di vettori

 

GRANDEZZE SCALARI

 Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero. La temperatura dell’aria in una stanza, la massa di un corpo, il numero di studenti in una classe, il numero delle pagine di un libro, la lunghezza di un segmento, l’area di una superficie sono quantità perfettamente note quando si conosca il valore numerico che le esprime, detto scalare, accom-pagnato dalla relativa unità di misura (ad esempio: 30 °C, 200 kg, 22 cm, 100 m2, 30 persone ...). Le operazioni aritmetiche con le grandezze scalari seguono le normali regole dell’algebra. Per esempio, sommando le lunghezze di 10 cm e di 25 cm relative a due segmenti adiacenti, si ottiene come risultato un segmento lungo 35 cm; aggiungendo 50 m2 ad un’area di 200 m2 , la superficie complessiva diventa 250 m2.

GRANDEZZE VETTORIALI

Esistono invece alcune grandezze per le quali il discorso precedente non è più valido. Gli effetti di una forza, dell’accelerazione o della velocità, infatti, cambiano non solo in funzione del valore che ne esprime l’intensità (il modulo), ma anche in funzione della direzione di applicazione e del verso.  Ad esempio, due treni che partono dalla stessa stazione alla velocità di 100 km/h lungo due differenti direzioni rettilinee, dopo lo stesso intervallo di tempo si ritroveranno in località completamente diverse tra loro, anche se all’identica distanza dal punto iniziale. Ciò vuol dire che per conoscere completamente gli effetti indotti da una grandezza fisica come la velocità, non basta conoscerne il modulo: occorre avere informazioni precise anche sulla sua direzione e sul suo verso. Grandezze di questo tipo si chiamano vettori;  le operazioni aritmetiche che le coinvolgono non seguono le tradizionali regole algebriche e necessitano di una nuova definizione (che vedremo nel prossimo paragrafo).  Ogni vettore v è graficamente rappresentato da un segmento orientato di lunghezza proporzionale al suo modulo : quest’ultimo è indicato dal simbolo | v | oppure dalla lettera in corsivo v.  Una lettera scritta in grassetto distingue i vettori dalle grandezze scalari (v). Il punto iniziale del segmento che rappresenta un vettore si chiama punto di applicazione ; quello finale, individuato da una freccia, ne stabilisce il verso. Due vettori si dicono consecutivi se il punto di applicazione del secondo coincide con l’estremo del primo. Si dicono opposti se hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma versi opposti : l’opposto di  v è il vettore (-v). Due vettori uguali (detti equipollenti), invece, hanno lo stesso modulo, identica direzione e verso concorde. Si chiama, infine, versore un vettore di modulo unitario ( cioè tale che | v | = 1 ).

Vale la seguente regola del trasporto : un vettore può esser traslato lungo una retta o lungo una qualunque direzione parallela a quella di partenza senza che quest’operazione lo alteri in alcun modo.

Nota: La regola del trasporto vale solo quando il punto di applicazione del vettore non riveste una importanza particolare. In caso contrario, si deve introdurre il concetto di momento di un vettore rispetto ad un punto, e la regola del trasporto cessa di valere.

Fig. 4  -  Regola del trasporto e vettori opposti

SOMMA E DIFFERENZA DI VETTORI

Abbiamo già anticipato come, per eseguire le operazioni algebriche con i vettori, occorra definire delle nuove procedure di calcolo. Vediamone il perché. Se a partire dall’origine O di un sistema di assi cartesiani eseguiamo due spostamenti consecutivi, rispettivamente di 10 m e di 15 m, possiamo affermare di trovarci a una distanza di 25 m dall’origine al termine dell’operazione svolta ? Sicuramente no ! Ciò sarà vero solo se i due spostamenti consecutivi avvengono nella stessa direzione e nello stesso verso (cioè se sono rappresentati da due segmenti adiacenti). In tutti gli altri casi, la distanza tra il punto d’arrivo e quello di partenza sarà sempre minore di 25 m: se, ad esempio, il secondo spostamento è diretto perpendicolarmente al primo, applicando il teorema di Pitagora otteniamo che il punto finale dista da quello iniziale solo 18 m. Se, invece, il secondo spostamento fosse eseguito con modulo uguale al primo e verso opposto, ma lungo la stessa direzione, ci ritroveremmo addirittura al punto di partenza, con uno spostamento totale nullo. Questa particolarità nasce dal fatto che lo spostamento è una grandezza vettoriale e quindi risulta completamente determinato solo se si considerano anche la direzione e il verso (fig. 5). Vediamo allora come introdurre le operazioni algebriche di somma e prodotto.

La somma di n vettori consecutivi è il lato di chiusura della poligonale formata da tali vettori.
Se i vettori non sono consecutivi, possiamo sempre ricondurci, con la regola del trasporto, al caso qui sopra considerato (fig. 5). Il vettore somma si chiama risultante R.

Somma di due vettori con lo stesso punto di applicazione. In questo caso, utilizzando ancora la regola del trasporto, possiamo facilmente ricondurci alla somma di due vettori consecutivi. Nel caso particolare in cui i vettori siano collineari è sufficiente eseguire la somma dei moduli : direzione e verso rimangono invariati (fig. 5).

Differenza di vettori.  Per eseguire la differenza occorre prima ricordare che, se -a è l’opposto di un vettore a,  i due vettori hanno la stessa direzione, lo stesso modulo ma verso contrario. In tal modo possiamo calcolare la differenza tra due grandezze vettoriali riconducendomi alla somma tra il primo vettore e l’opposto del secondo: a - b =  a + (- b)

Nel caso particolare in cui i vettori siano collineari è sufficiente calcolare la differenza dei moduli : la direzione del risultante rimane invariata, mentre il verso sarà determinato dal vettore di modulo maggiore (fig. 5).

La regola del parallelogramma ci aiuta a sintetizzare le osservazioni qui sopra espresse in un procedimento particolarmente semplice che permette di calcolare velocemente sia la somma che la differenza di due vettori generici a  e  b una volta che questi siano portati ad avere lo stesso punto di applicazione. Se consideriamo, infatti, il paral-lelogramma formato dai due vettori in questione (fig. 5), possiamo notare come la diagonale uscente dal punto di applicazione comune coincida con il vettore somma  s = a + b,  mentre l’altra diagonale rappresenti il vettore differenza d =  a - b, il cui verso è diretto dal secondo vettore (b) verso il primo (a).

Principio di sovrapposizione.  Nel caso in cui su un punto agiscano contemporaneamente più vettori v1, v2, v3 …  è possibile dimostrare che l’effetto complessivo è uguale a quello che si otterrebbe applicando in quel punto un unico vettore dato dal risultante R di tutte le grandezze considerate.

R = v1 + v2  + v3 + …  

Fig. 5 -  Principali proprietà dei vettori