La nascita di una nuova scienza

La teoria del caos, la cui nascita è legata a celebri figure, come Feigenbaum, Lorenz, Dyson, e Smale, si sviluppa con l'intento di trovare una spiegazione "scientifica" a un'ampia gamma di fenomeni troppo a lungo trascurati dai fisici, dalla turbolenza nei liquidi e nei gas, al cambiamento delle condizioni atmosferiche, alle fluttuazioni delle popolazioni animali e vegetali, alle oscillazioni degli impulsi provenienti dal cuore e dal cervello, alla Grande Macchia Rossa di Giove, alle variazioni dei prezzi delle merci.

Se nell'Unione Sovietica i primi studi sul caos risalgono già agli anni '50, si deve aspettare almeno un decennio affinchè questa nuova teoria si sviluppi anche nel panorama occidentale. Quando Feigenbaum comincia le sue ricerche negli anni Settanta, gli scienziati che si occupano del caos sono ancora molto pochi, spesso ostacolati nel loro lavoro dai difensori della fisica tradizionale, spaventati da idee così nuove e fondate su una matematica che sembra difficile e anticonvenzionale. Dagli anni Ottanta, quello del caos è diventato un settore in continua espansione, fondato su una ricerca ininterrotta e coordinata dal Center for Nonlinear Studies.

Quali sono i veri "meriti" della teoria del caos?

• Se confrontata con la Scienza classica, che si limita a considerare il lato irregolare, discontinuo e incostante della natura come una sorta di mostruosità, tale teoria mostra chiaramente la sua portata rivoluzionaria, testimoniata anche dall'adozione di un linguaggio tecnico totalmente inaccessibile ai non esperti del settore.

• La nascita della Teoria del caos cancella le linee di demarcazione tra le diverse discipline scientifiche, ponendosi contro la crisi di crescente specializzazione verso la quale si stava avviando la Scienza.

• Gli studiosi dei fenomeni "caotici" mettono in discussione il riduzionismo, ovvero la tendenza ad analizzare i sistemi individuandone le parti componenti (quark, cromosomi, neutroni) e aspirano alla conoscenza della totalità delle informazioni che riguardano il sistema stesso.

• Questa nuova teoria si applica all'universo quale lo vediamo e conosciamo e interessa la nostra esperienza quotidiana.

Poste tali premesse, è facile capire perchè la Teoria del caos è stata considerata come la terza grande rivoluzione della Scienza, dopo la Teoria della relatività einsteiniana e la Meccanica quantistica, con la seguente precisazione:

• la relatività elimina l'illusione newtoniana di spazio e tempo assoluti;

• la meccanica quantistica, attraverso il Principio di indeterminazione di Heisenberg (secondo il quale non è possibile individuare contemporaneamente la velocità e la posizione di una particella), mete in discussione la credenza in un processo di misurazione controllabile;

• la teoria del caos elimina l'illusione newtoniana della prevedibilità deterministica, sostenuta da Laplace.

Se è vero che lo studio del caos ha messo in discussione il principio di prevedibilità, dall'altro ha mostrato come molti sistemi definiti "aleatori" siano più prevedibili di quanto si pensi e possano essere spiegati in termini relativamente semplici.

Edward Lorenz viene solitamente ricordato per gli studi effettuati sulle previsioni delle condizioni meteorologiche, analizzate da un punto di vista matematico. Il suo esperimento, dovuto anche alla presenza di un fattore accidentale, si svolge nelle seguenti fasi:

 

 I risultati forniti dall'esperimento di Lorenz spiegano chiaramente il perchè le previsioni meteorologiche a lungo termine non sono possibili. Piccole differenze nei dati in ingresso, infatti, generano grandi differenze in uscita, causando un'amplificazione del rumore iniziale. E' proprio questo il significato dell'espressione "dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali", meglio nota come "effetto farfalla" e conosciuta, seppure al livello intuitivo, anche dalla tradizione folkloristica:

Per colpa di un chiodo si perse lo zoccolo;

per colpa di uno zoccolo si perse il cavallo;

per colpa di un cavallo si perse il cavaliere;

per colpa di un cavaliere si perse la battaglia;

per colpa di una battaglia si perse la guerra.

Lorenz si rende presto conto che l'imprevedibilità è connessa alla e riesce a riprodurre tale comportamento aperiodico attraverso un sistema regolato da sole 3 equazioni non lineari (che esprimono, cioè, rapporti non rigorosamente proporzionali). In un secondo momento, l'evoluzione del sistema viene visualizzata graficamente attraverso uno spazio degli stati, in modo da generare un'orbita. Il risultato è sorprendente: l'attrattore individuato da Lorenz non corrisponde a nessuno di quelli conosciuti. La traiettoria descritta dai punti, infatti, forma una spirale in tre dimensioni, simile a una farfalla con le ali aperte; pur non intersecando mai se stessa si avvolge continuamente in nuove spire, mantenendosi però sempre all'interno di precisi limiti. Tale orbita, rappresentata da una linea infinitamente lunga racchiusa in un'area infinita, prende il nome di ATTRATTORE DI LORENZ.

L'esperienza di Lorenz dà il via alla ricerca di una lunga serie di "attrattori strani", come quelli di Hénon e di Rossler, disegnati attraverso particolari tecniche di visualizzazione. Al di là delle apparenti differenze tutti gli attrattori caotici, costituiti da linee infinite racchiuse in are finite, sono frattali, oggetti che rivelano dettagli sempre maggiori via via che vengono ingranditi. Il caos dunque, genera frattali in modo naturale.

La differenza tra gli attrattori strani e quelli che descrivono sistemi non caotici è evidente: mentre in questi ultimi le orbite vicine tra loro restano tali anche a distanza di tempo (rendendo possibile una previsione a lungo termine), negli attrattori caotici due orbite corrispondenti a condizioni iniziali prossime divergono in modo esponenziale

Si può comprendere facilmente la natura di un attrattore caotico pensando a un'operazione di stiratura e piegamento dello spazio degli stati. La divergenza esponenziale delle orbite è. Infatti, un fenomeno locale. Nella realtà, dal momento che la dimensione dgli attrattori è finita, due orbite non possono continuare a divergere all'infinito e l'attrattore è costretto a ripiegarsi su se stesso.

Proprio nell'intento di misurare lo stiramento, la contrazione e il piegamento dello spazio delle fasi di un attrattore sono stati introdotti gli esponenti di Ljapunov. Se un esponente > 0 indica uno stiramento, a un esponente < 0 corrisponde una contrazione. E' facile, quindi, prevedere che:

- il punto fisso è descritto solo da esponenti negativi;

- il ciclo limite è rappresentato da un esponente nullo e da esponenti negativi;

- in un attrattore caotico almeno un esponente è positivo.

Il fatto che un attrattore caotico derivi, come dimostrato da studi topologici, dalla stiratura e dal piegamento dello spazio degli stati consente due ordini di osservazioni, inerenti all'evoluzione del sistema e alla sua imprevedibilità.

La divergenza delle traiettorie vicine e lo stiramento dello spazio rappresentano la ragione di fondo per la quale il caos porta all'imprevedibilità. Quando si compiono osservazioni su un sistema fisico, infatti, è impossibile definire con esattezza il suo stato a causa degli inevitabili errori di misura. La condizione del sistema, dunque, non è rappresentata da un unico punto, ma da una regione all'interno dello spazio degli stati, che prende il nome di ALONE DI INDETERMINAZIONE. Lo stato del sistema può cadere in qualsiasi punto interno a tale alone. Nel momento in cui si stira e si piega lo spazio delle fasi, si sottopone a stiramento anche l'alone, che si piega su se stesso varie volte, fino a risultare diffuso su tutto l'attrattore. Proprio perchè lo stato finale del sistema può trovarsi in qualunque punto, una qualunque previsione è impossibile.

Gli attrattori caotici si comportano, quindi, come una sorta di pompa, in quanto portano a manifestazione macroscopica le fluttuazioni microscopiche (ecco il vero significato di "dipendenza dalle condizioni iniziali"!). Se il loro effetto è simile a quello degli amplificatori di rumore, si differenziano da questi ultimi in quanto il comportamento caotico del sistema è indipendente dal livello di rumore iniziale il quale, a sua volta, è dovuto solo all'imprecisione delle misurazioni. In altre parole, i sistemi caotici generano aleatorietà di per sè, senza bisogno di un apporto esterno.

La cella di Couette e il moto dei fluidi

L'introduzione della Regola di Takens consente i riesaminare il moto dei fluidi esaminato da Gollub e Swinney e di ottenere dalla ricostruzione dello spazio degli stati proprio un attrattore caotico. Negli ultimi anni, diverse ricerche hanno dimostrato che numerosi sistemi dinamici presentano un'aleatorietà dovuta a un attrattore caotico. Il fatto che nei grafici sia possibile individuare determinate strutture, che si ripetono qualunque si il fenomeno studiato, dimostra che l'aleatorietà presenta una base deterministica. Quando si parla di "caos deterministico" si intende proprio un caos generato da regole fisse, le quali non contengono di per sè alcun elemento casuale. Ecco la ragione per la quale sempre più spesso, più che di "caos", si preferisce parlare di "complessità".

La teoria del caos è ancora lontana dall'aver trovato una sistemazione definitiva. Sistemi caratterizzati da molti gradi di libertà, infatti, potrebbero dar luogo a un comportamento aleatorio nel vero senso del termine e alcune configurazioni spaziali in movimento, come le dune del Sahara, potrebbero anche non essere descritte efficacemente da un unico attrattore in un unico spazio degli stati. Tuttavia, è ormai un dato certo che gli studiosi del caos hanno allargato le frontiere della conoscenza umana, consentendo un approccio del tutto originale a discipline quali l'Astronomia, la Psichiatria e la Cardiologia.