La conservatività del vettore campo

DIECI MODI DIVERSI DI DEFINIRE LA CONSERVATIVITÀ

DEL VETTORE CAMPO GRAVITAZIONALE IN CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ

Il vettore "campo gravitazionale" g gode della proprietà di essere conservativo se:

1 il flusso totale Fsc(g) del vettore campo gravitazionale generato da un sistema di masse, uscente attraverso una qualsivoglia superficie chiusa è, per il teorema di Gauss, diverso da zero cioè se Fsc(g)=-4p·GM;
2 le linee di forza del campo sono linee aperte e non chiuse che giungono alle singole masse dall’infinito senza intersecarsi;  
3 esiste un’unica tipologia di massa gravitazionale m, chiamata pozzo delle linee di forza del campo;  
4 il lavoro L compiuto dalle forze del campo nello spostare una piccola massa di prova m da un punto A a un punto B non dipende dal particolare cammino percorso ma solo e soltanto dalla posizione iniziale A e finale B dei due punti;  
5 il lavoro totale L compiuto dalle forze del campo gravitazionale nello spostare la massa esploratrice m da A a B e, quindi, di nuovo in A lungo un qualsivoglia percorso chiuso è nullo; cioè se Lt=LA-B + LB-A=0;
6 la circuitazione del campo gravitazionale intesa come sommatoria (gi·Dli) è nulla cioè se C(g)=0;
7 si può introdurre una funzione U(x,y,z) delle coordinate posizionali e di entrambe le masse chiamata energia potenziale gravitazionale delle masse, tale che L=-(U2-U1), cioè tale che la differenza U1-U2 dei valori che essa assume nei punti A e B di un campo gravitazionale esprime il lavoro L compiuto dal campo gravitazionale quando sposta m da A a B lungo un qualunque percorso,  dove U= GmM/r se g è radiale;
8 esiste e si può definire una funzione V(x,y,z) delle coordinate e della sola massa M che produce il campo, chiamata potenziale gravitazionale, tale che il lavoro prodotto dalle forze del campo sulla massa gravitazionale unitaria è uguale alla variazione che subisce la funzione nei due punti,  cioè se L= -(V2-V1);
9 esiste una relazione notevole che lega il vettore campo gravitazionale g e la variazione del potenziale gravitazionale del tipo: g = - grad V (più semplicemente g= -DV/Dx);
10 esiste una relazione notevole che lega il vettore forza F e la variazione dell’energia potenziale gravitazionale del tipo: F = - grad U;

DIECI MODI DIVERSI DI DEFINIRE LA CONSERVATIVITÀ

DEL VETTORE CAMPO ELETTRICO IN CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ

Il vettore "campo elettrico" E gode della proprietà di essere conservativo se:

1 il flusso totale Fsc(E) del vettore campo elettrico generato da un sistema di cariche, uscente attraverso una superficie chiusa qualsivoglia è per il teorema di Gauss diverso da zero,   cioè se Fsc(E)=Q/eo;
2 le linee di forza del campo sono linee aperte e non chiuse che si dipartono dalle singole cariche e vanno fino all’infinito senza intersecarsi;  
3 esistono individualmente e separatamente due tipologie di monocarica +q e -q, chiamate rispettivamente sorgenti e pozzi delle linee di forza del campo;  
4 il lavoro L compiuto dalle forze del campo elettrico nello spostare una piccola carica di prova q da un punto A a un punto B è indipendente dal particolare cammino percorso ma dipende solo e soltanto dalla posizione iniziale A e finale B dei due punti;  
5 il lavoro totale L compiuto dalle forze del campo elettrico nello spostare la carica esploratrice q da A a B e, quindi, di nuovo in A lungo un qualsivoglia percorso chiuso è nullo; cioè se Lt=LA-B + LB-A=0;
6 la circuitazione del campo elettrico intesa come S (Ei·Dli) è nulla, cioè se C(E)=0;
7 si può introdurre una funzione U(x,y,z) delle coordinate posizionali e di entrambe le cariche chiamata energia potenziale elettrostatica delle cariche, tale che L=-(U2-U1), cioè tale che la differenza U1-U2 dei valori che essa assume nei punti A e B di un campo elettrico esprime il lavoro L compiuto dal campo elettrico quando esso sposta q da A a B lungo un qualunque percorso,  dove U= (1/4peo)Qq/r se E è radiale;
8 esiste e si può definire una funzione V(x,y,z) delle coordinate e della sola carica Q che produce il campo, chiamata potenziale elettrostatico, tale che il lavoro prodotto dalle forze del campo sulla carica unitaria è uguale alla variazione che subisce la funzione nei due punti:  L= -(V2-V1);
9 esiste una relazione notevole che lega il vettore campo elettrico E e la variazione del potenziale e.s. del tipo: E = - grad V (più semplicemente E= -DV/Dx);
10 esiste una relazione notevole che lega il vettore forza F e la variazione dell’energia potenziale e.s. del tipo: F = - grad U;

 

CINQUE MODI DIVERSI DI DEFINIRE LA SOLENOIDALITÀ DEL VETTORE CAMPO MAGNETICO 

(o del campo elettrico in condizioni non stazionarie, cioè variabili nel tempo)

Il vettore "campo magnetico" B non gode della proprietà di essere conservativo ed è invece solenoidale se:

1 il flusso  Fsc(B) del vettore induzione magnetica B attraverso una superficie chiusa qualsivoglia è, per il teorema di Gauss, sempre uguale zero, cioè se Fsc(B)=0;
2 tutte le linee del campo magnetico sono linee chiuse su se stesse, sia per un campo creato da un filo rettilineo percorso da corrente, che per quello di una spira o di un magnete (dove la linea rettilinea centrale si chiude all’infinito);  
3 non esistono monopoli magnetici, ovvero non esistono magneti che presentano separatamente e individualmente le due tipologie di polarità nord e sud, rispettivamente sorgenti e pozzi delle linee magnetiche;  
4 le forze del campo non possono modificare l’energia cinetica di una particella che si muove in esso, ovvero non compiono lavoro perché la forza prodotta dal campo sulla particella ha direzione perpendicolare al suo spostamento,  ossia L=F^s=F·s·sin90=0;
5 la circuitazione del campo magnetico lungo una qualunque linea chiusa che delimita una regione attraversata da corrente è diversa da zero, cioè se C(B)=m0·i;

  

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