GEOMETRIA EUCLIDEA

   L’opera di Euclide rappresenta una sintesi organica delle conoscenze matematiche dei suoi tempi ed è ispirata a fini didattici: per molti anni è stato usato come testo nelle scuole, con ottimi risultati. Gli “ELEMENTI” si compongono di 13 libri, nei quali si trova esposta sistematicamente tutta la geometria elementare. Ogni libro inizia con un gruppo di PROPOSIZIONI che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi e teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e la frase rituale con cui si chiudono: “COME DOVEVASI FARE” per i problemi, “COME DOVEVASI DIMOSTRARE” per i teoremi. I principi fondamentali esposto negli “ELEMENTI” si distinguono in tre categorie: TERMINI o definizioni, POSTULATI( di natura geometrica) e NOZIONI COMUNI ( postulati anch’essi, ma di portata più generale).

Ai termini del primo libro seguono nel testo originale i 5 postulati:

1.     “Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta;”

2.     “e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto;”

3.     “e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo;”

4.     “e che tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro;”

5.     “e che se una retta, incontrandone altre due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due rette”.

Il postulato 5, noto come il QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE o

POSTULATO DELLE PARALLELE è quello caratteristico della GEOMETRIA EUCLIDEA e da esso segue la dimostrazione dell’esistenza di almeno una parallela per un punto ad una retta data; da questo postulato e dalla PROPOSIZIONE 29 del libro 1 segue poi l’unicità della suddetta parallela.

PROPOSIZIONE 29: “una retta che cade su due rette parallele forma gli angoli alterni interni uguali fra loro, angoli corrispondenti uguali, angoli coniugati interni supplementari.”

Vediamo come Euclide dimostra la prima parte di questa proposizione: “ la retta EF cada sulle parallele AB e CD. Dico che essa forma gli angoli alterni interni AEF, EFD uguali fra loro. Infatti, se gli angoli AEF ed EFD non fossero uguali fra loro, allora uno di essi sarebbe il maggiore. Sia AEF. Si aggiunga ad entrambi l’angolo BEF; allora gli angoli AEF e BEF presi insieme sono maggiori della somma  degli angoli EFD e BEF. Ma gli angoli  AEF e BEF presi insieme sono due angoli retti, dunque gli angoli EFD e BEF presi insieme sono minori di due angoli retti; ma allora per il POSTULATO 5 le due rette AB e CD si intersecano dalla parte di B e D; ma esse non possono incontrarsi perché sono parallele per ipotesi; ma allora l’angolo AEF non è disuguale all’angolo EFD e quindi è ad esso uguale. COME DOVEVASI DIMOSTRARE”.

Questo teorema è la prima proposizione di “GEOMETRIA EUCLIDEA” propriamente detta. Il fatto che Euclide abbia tardato ad invocare il quinto postulato avvalora la congettura che già ai suoi tempi fossero sorte delle critiche intorno alla natura del postulato stesso.