Studio del periodo di oscillazione del pendolo fisico in funzione della larghezza,  lunghezza e spessore

 dell'asta oscillante, della densità assoluta del materiale di cui è costituito, dall'ampiezza di oscillazione

 e dal momento di inerzia, ovvero T=T(s,l,z,d,α,I).

1. T=T(z) per s,d,α,l,I=cost.

Nel primo momento di indagine empirica ricercheremo la correlazione tra il periodo T del pendolo e la sola larghezza z della lastrina, cioè T=T(z) e dimostreremo che il periodo di oscillazione T rimane sempre costante,  cioè T=cost.  nonostante varieremo la larghezza.

Eseguiremo sette misurazioni di tempo per sette differenti larghezza delle lastrine. Il periodo T si calcolerà come media di dieci misure ripetute.

Ecco i risultati.

TAB.1 - Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione della larghezza delle lastre per larghezze via via crescenti.

Come si può notare pur variando considerevolmente la larghezza - da 10 mm a 11,1 cm - il periodo di oscillazione T rimane invariato a circa 1.17s. Questo significa che al variare della larghezza della piastrina oscillante il periodo è indipendente. Vediamo il grafico cartesiano T=T(z) che conferma visivamente bene questa conclusione.

Dal grafico emerge una serie di punti paralleli all'asse delle ascisse. Se si uniscono i punti sperimentali si nota una retta su cui l'allineamento dei punti è impressionante. Segno che l'indipendenza del periodo di oscillazione è ben confermata. 

Calcolo degli errori.

Le incertezze rappresentate sul grafico sono quelle degli strumenti di misura. Pertanto ΔT=0,01s perchè la sensibilità del cronometro è 0,01s e Δz=0,05mm perchè la sensibilità del calibro a corsoio è 1/20 mm, cioè 0,05mm.

2. T=T(s) per s,z,α ,l,I=cost.

Nel secondo momento dell'indagine sperimentale ricercheremo la correlazione tra il periodo di oscillazione T in funzione della sola larghezza T=T(s) per spessore,  lunghezza, densità assoluta, apertura angolare e momento di inerzia costanti.

In questo secondo momento faremo vedere che il periodo di oscillazione T è indipendente dalla larghezza della piastrina metallica.

Abbiamo fatto variare lo spessore z dell'asta oscillante sovrapponendo due o più lastrine di uguale lunghezza. In ogni misurazione abbiamo misurato il tempo impiegato dal pendolo fisico a compiere 10 oscillazioni per ridurre al massimo gli errori sperimentali. Quindi il periodo T si è ottenuto dividendo questo tempo per il numero di oscillazioni complete.

TAB.12- Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione dello spessore delle lastre per spessori via via crescenti.

Come si può notare anche in questo caso pur variando considerevolmente lo spessore - da 1,05 mm a 6,30 mm - il periodo di oscillazione T rimane invariato a circa 1.18s. Questo significa che al variare dello spessore della piastrina oscillante il periodo è indipendente. Vediamo il grafico cartesiano T=T(z) che conferma visivamente bene questa conclusione.

Dal grafico emerge di nuovo la medesima situazione del caso precedente e cioè una serie di punti paralleli all'asse delle ascisse. Se si uniscono i punti sperimentali si nota una retta orizzontale su cui l'allineamento dei punti è anche qui notevole. Segno che l'indipendenza del periodo di oscillazione è ben confermata anche per lo spessore.

In questo caso è necessario però fare una precisazione. E' possibile infatti che aumentando lo spessore il periodo possa aumentare poichè aumenta la superficie di esposizione all'aria e quindi la resistenza del mezzo. Ciò potrebbe essere la causa di errore come spiegheremo meglio in seguito.

Calcolo degli errori.

Le incertezze rappresentate sul grafico sono anche qua quelle degli strumenti di misura. Pertanto, come nel primo momento ΔT=0,01s perchè la sensibilità del cronometro è 0,01s e Δz=0,05mm perchè la sensibilità del calibro a corsoio è 1/20 mm, cioè 0,05mm.

3. T=T(d) per s,z,l,α,I=cost.

Nel terzo momento di indagine empirica ricercheremo la correlazione tra il periodo T del pendolo e la sola densità assoluta del materiale della lastrina, cioè T=T(d)  per spessore, larghezza, lunghezza, angolo e momento di inerzia costanti.  Rappresenteremo quindi graficamente su un diagramma cartesiano il modo di variare del periodo T in funzione di d  e dimostreremo che, per piccole ampiezze di oscillazione del pendolo, il periodo T è indipendente dalla  densità della lastrina metallica. Utilizzeremo delle aste di uguali dimensioni dei seguenti materiali: acciaio, ferro, rame, alluminio, lamcolor e ottone.In questo secondo momento faremo vedere che il periodo di oscillazione T è indipendente dalla natura del materiale utilizzato.

Per misurare la densità assoluta dei diversi materiali procediamo alla misura della massa e del volume delle lastre e ricaviamo con il calcolo la densità assoluta mediante il rapporto :   d= m / V . Misuriamo la massa con la bilancia mediante due metodi differenti: il metodo di Borda e il metodo di Gauss.

TAB.3 - Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione della densità assoluta del materiale delle lastre.

Nella colonna del periodo di oscillazione T, i valori misurati rimangono in modo visibile costanti, tutti intorno al valore medio  T=1.17s. Ne possiamo inferire, anche rappresentando graficamente il periodo T in funzione della densità assoluta, che il periodo T è indipendente dal materiale di cui è composto il pendolo.

L'andamento grafico conferma per la terza volta consecutiva in modo sorprendentemente chiaro che c'è una evidente indipendenza del periodo di oscillazione dalla densità del materiale di cui è costituito il pendolo.

.4. T=T(α) per s,z,d,l,I=cost.

Nel quarto momento si studierà  come varia se varia il periodo di oscillazione in funzione dell'ampiezza di oscillazione del pendolo T=T(α) per spessore, larghezza, lunghezza, densità assoluta e momento di inerzia costanti.

Nel terzo momento ricercheremo la correlazione tra il periodo T di oscillazione e l'angolo α di oscillazione. Rappresenteremo quindi graficamente su un diagramma cartesiano il modo di variare del periodo T in funzione di α  e dimostreremo che, per piccole ampiezze di oscillazione del pendolo, il periodo T è indipendente dall'angolo col quale devia dalla verticale la lastrina metallica.

TAB.4 - Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione dell'angolo di oscillazione.

Come si può vedere anche in questo caso il periodo T rimane pressoché costante e uguale al valore medio T= 11,7s nonostante l'angolo vari da 5° a 75° che è una considerevole ampiezza angolare.  Disegnamo il grafico di T=T(α) e discutiamolo in dettaglio.

Come si vede dalla fig4 l'andamento dei punti sul diagramma è leggermente "in salita". Analizzando meglio la disposizione dei punti si nota che i primi nove punti, quelli cioè che si trovano per angoli relativamente piccoli sono quasi allineati, mentre i due punti finali ottenuti per una ampiezza di oscillazione molto ampia (intorno ai 75°) si nota un piccolo scostamento di aumento del periodo. Possiamo concludere che il periodo di oscillazione T di un pendolo composto è praticamente indipendente dall'angolo a condizione che il parametro angolare di oscillazione non sia grande.

Calcolo degli errori.

Le incertezze rappresentate sul grafico sono quelle degli strumenti di misura. Pertanto ΔT=0,01s perchè la sensibilità del cronometro è 0,01s e Δα=0,02 rad perchè la sensibilità del goniometro semplice è 0,02 rad.

5. T=T(l) per s,z,d,α,I=cost.

Il quinto momento prevede lo studio della variazione del  periodo di oscillazione in funzione della lunghezza del pendolo T=T(l) per spessore, larghezza, densità assoluta, angolo e momento di inerzia costanti.

Nel corso di questo quinto  momento dimostreremo per la prima volta che il periodo T del pendolo varia in funzione della lunghezza del pendolo medesimo. Sarà molto interessante individuare la modalità di variazione della legge del periodo in funzione della lunghezza e scopriremo che l'andamento non sarà lineare.

Innanzitutto diciamo che vengono confermate ancora una volta le strategie del processo di misurazione. Eseguiremo come sempre 10 misure del periodo con 10 differenti lunghezze. Manterremo evidentemente costanti tutti gli altri parametri.

TAB.5 - Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione della lunghezza del  pendolo.

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Cosa emerge alla fine del processo di misurazione e di tabulazione de idati? Come vediamo in TAB.5 più si aumenta la lunghezza del pendolo, più aumenta il suo periodo. Di conseguenza il moto diventa sempre più lento e il periodo di oscillazione più lungo nel senso che impiega più tempo per compiere una oscillazione completa. Rappresentiamo nella Fig.5 graficamente il periodo T in funzione della lunghezza l otteniamo una specie di ramo di parabola avente come asse di simmetria l'asse delle ascisse. Le incertezze sono costituite dalla sensibilità degli strumenti di misurazione.

Che tipo di proporzionalità esiste dunque fra T ed l? Premesso che non siamo sicuri se l'andamento correlativo tra perioso e lunghezza del pendolo composto sia proprio una parabola e visto che il nostro grafico è un grafico sperimentale si pone il problema di come essere sicuri della proporzionalità. Per questo dovremo disegnare un grafico di controllo a variabili trasformate in cui dovremo riscontare una proporzionalità diretta tra le due variabili considerate T ed l opportunamente trasformate in base al grafico prescelto.

Elaboreremo quindi in prima battuta una ulteriore tabella  cioè la TAB.6 nella quale dato che il ramo di parabola esprime una proporzionalità quadratica, ricercheremo delle costanti fra i quadrati del periodo (variabile dipendente) e/o le radici quadrate delle lunghezze (variabili indipendenti). Ecco come si presenta questa nuova tabella con i risultati ottenuti.

TAB.6- Grado di proporzionalità verificato dal controllo del rapporto tra periodo del pendolo in funzione della radice quadrata della sua  lunghezza.

Vediamo che nella colonna del rapporto T²/l compaiono delle costanti. Se quindi rappresentiamo graficamente T in funzione di T² otterremo la risposta al nostro interrogativo. E cioè che essendo il rapporto tra T² ed l costante vuol dire che c'è proporzionalità diretta tra queste due variabili trasformate. Pertanto la proporzionalità non è diretta tra T ed l ma tra T² ed l del tipo T²=kl.

Sorge la curiosità di vedere cosa succede se si correlano graficamente T e √l . Ecco cosa succede in un diagramma del genere.

Vediamo che il grafico di fig.7, nella logica del calcolo del rapporto T/√l , individua nella quinta colonna della tabella dei rapporti costanti, mentre nel relativo grafico un andamento rettilineo, segno che potrebbe trattarsi con molta probabilità di una proporzionalità diretta fra le due variabili trasformate T e √l. Se quindi rappresentiamo graficamente T in funzione di √l otterremo per risposta una chiara controprova della proporzionalità quadratica fra T ed l. E cioè che la correlazione contiene nella formula del periodo di oscillazione il termine di proporzionalità diretto √l.

Osservando con attenzione i  due grafici si nota che spuntano fuori due rette a conferma del risultato ottenuto precedentemente. Ciò vuol dire che i due rapporti T²/l e T/√l sono entrambi costanti. Quindi T²/l=costante   da   cui  T²= k l o che T/√l = costante da cui T= h√l . Facciamo adesso una piccola digressione per cercare di ottenere se possibile una previsione teorica della proporzionalità quadratica tra T ed l esplicitando le costanti. Partiamo dal punto di vista dimensionale dal rapporto T²/l  otteniamo che il rapporto [T²/l] = [s² /m] = [1/ m/s²] = [1/g] non è altro che il reciproco dell'accelerazione di gravità. Dalle equazioni T²= k l e che T=h√l  notiamo altresì come la prima delle due è il quadrato della seconda e di conseguenza k=h² .Abbiamo detto che k = m/g così che k=T²/l. Dai valori ottenuti dalle misurazioni risulta pertanto che T²/l=2,7. Possiamo supporre quindi che k=2,7 = m/g. Visto che g=9,8 da cui n=2,7 10 quindi  k= 2,7 10 /g. Dato che il pendolo composto, oscillando, descrive un arco di circonferenza possiamo supporre che 9,8=π². Otteniamo pertanto : k=2,7 π²/g . Ma 2,7 =8/3  da cui  k=8π²/3g. Il periodo T del pendolo composto risulta quindi essere

T²/l= 8π²/3g  o anche  T²=4 π² 2 l / 3 g . In conclusione:

T = 2 π √(2l/3g) .

Questa è l'equazione del periodo di oscillazione di un pendolo comporto con una lunghezza ridotta a 2/3 l. Questa equazione presenta una stretta analogia con l'equazione del periodo del pendolo semplice: To = 2 π √(l/g) , T = 2 π √(2l/3g). Quindi T=To√2/3.

Calcolo delle incertezze su T

L'incertezza assoluta sul periodo è data dalla sensibilità dello strumento utilizzato per le misure di T. Pertanto, ΔT=0,01s perchè la sensibilità del cronometro è 0,01s .

Calcolo delle incertezze su T²

Per calcolare l'incertezza assoluta sul quadrato del periodo partiamo dalla relazione che T² = T · T avremo:

ΔT²/T²=(ΔT/T)+(ΔT/T)

ΔT²/T²= 2 ΔT/T

Δ(T²) = 2 T ΔT

Δ(T²) = 2 (1,65) (0,01) = 0,033 = 0,03 s²

Calcolo delle incertezze su l

L'incertezza assoluta sulla lunghezza (larghezza, spessore) del pendolo è data dalla sensibilità dello strumento utilizzato per le misure di l. Pertanto  Δl=0,05mm perchè la sensibilità del calibro a corsoio è 1/20 mm, cioè 0,05mm.

Calcolo dell'incertezza su √l

Per calcolare l'incertezza assoluta sulla radice quadrata della lunghezza del pendolo operiamo come segue:

Dato che √l = (l)^½  si ottiene:

Δ√l = ½ (l)^½-1 Δl  , cioè  Δ√l = Δl / 2√l = 0,001/2(0,999) = 0,0005 = ~ 0,001 m^½

6. T=T(I) per s,z,d,l,α=cost.

Il sesto e ultimo momento di indagine empirica relativo al modo di variare del periodo di oscillazione in funzione del momento d'inerzia T=T(I) per spessore, larghezza, lunghezza, densità assoluta e angolo costanti. In questo ultimo momento di indagine empirica confermeremo l'idea che il periodo T varia in funzione del momento di inerzia I dell'asta a causa del fatto che la distribuzione delle masse del pendolo varia a seconda di come e dove si colloca la parte vuota della striscia più o meno lontano dall'asse di rotazione della lastrina. Com'è noto il momento d'inerzia di un corpo che ruota intorno a un asse di rotazione non dipende solo dalla sua massa , ma anche dal modo in cui questa massa è distribuita rispetto all'asse di rotazione.

E' istruttivo vedere quanto detto nella figura che segue:

Come si vede dalla figura la parte bianca è la parte vuota della lastrina. Andando da sinistra a destra si nota che la parte vuota scende di circa 1/6 della intera lunghezza allontanandosi dall'asse di rotazione pendolare che si trova alla sommità dell'asta. Ciò significa che il momento d'inerzia delle sei lastrine è differente. L'indagine empirica è volta a far vedere che al cambiare della lastrina varia il periodo di oscillazione

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TAB.7- Misura del valore del periodo di oscillazione del pendolo in funzione del momento d'inerzia del pendolo.

Come vediamo aumentando la distanza della parte vuota dal punto di sospensione, la massa inerziale rotazionale diminuisce (si va da 12,5 a 9,0 mkg/m) e conseguentemente anche il periodo di oscillazione diminuisce da 1,17s a 0,99s. Il moto del pendolo quindi diventa più rapido man mano che il momento d'inerzia diminuisce o, che è lo stesso, il moto del pendolo diventa più lento man mano che il momento d'inerzia aumenta. Se si osservano gli andamenti dei grafici di fig.8 e 9 si vede che i relativi diagrammi sono approssimativamente allineati. Tuttavia a un'analisi più attenta e approfondita si nota che nel diagramma della fig.8 il rapporto tra periodo T e momento d'inerzia I non è costante come si vede bene nella quarta colonna della TAB.6.

 Mentre l'analogo rapporto tra periodo al quadrato e momento d'inerzia I è costante come si evince osservando la sesta colonna della medesima TAB.6.

I due grafici non sono estremamente chiari ma le tabelle numeriche tolgono qualsiasi dubbio.

Calcolo delle incertezze sul momento d'inerzia I.

L'incertezza assoluta sul momento d'inerzia ΔI si calcola applicando la propagazione degli errori come segue:

ΔI/I = Δm/m + 2 Δl/l

Calcoliamo per prima cosa il valore del momento d'inerzia I:

I=1/3 m l²

con

m= (0,174±0,001) kg

l  = (0,500±0,002) m

I= ⅓ (0,174) (0,500)² = 0,0145 kg m²

ΔI/I = 0,001/0,174 + 2 0,002/0,500 = 0,0001986 ~ 0,0002 kg m²

I=(0,0145 ±0,0002) kg m²

Rappresentando graficamente il periodo T in funzione del momento d'inerzia I otteniamo un ramo di parabola avente come asse di simmetria l'asse delle ascisse. L'incertezza su T è costituita dalla sensibilità dello strumento di misurazione. Dato che il nostro è un grafico sperimentale abbiamo eseguito un ulteriore grafico, chiamato di controllo a variabili trasformate dove si riesce ad evidenziare la costanza del rapporto tra il quadrato del periodo e il momento d'inerzia. Da questo ulteriore grafico compare una retta a conferma del risultato precedentemente ottenuto.

Abbiamo detto infatti che :

T = 2 π √(2l/3g)

e che il periodo T è direttamente proporzionale anche a I. Cioè : T/√l = cost.

Quindi nel radicando deve comparire un momento d'inerzia I. Procediamo come segue:

2l/3g = 2 (l) (l) /3 (g) (l) = 2 (1) (l) (l) (m) / 3 (g) (l) (m)

Sappiamo che I = ⅓ ml² quindi ottengo che:

2 ⅓ g = 2I/gml

2I/gml= I/gml/2 =I/gdm

dove d=l/2.

Sostituendo all'equazione del periodo ottengo:

T = 2 π √(I/mgd)

che è l'equazione del periodo di oscillazione del pendolo composto avente momento d'inerzia I, massa m, sospeso a un punto di sospensione s, distante d dal baricentro dell'asta sottile.