Esempio di risoluzione di un problema di fisica

 

La seconda fase dell'attività di risoluzione: analisi e discussione del problema.


15 - Prima domanda.

Partiamo subito dalla condizione di scontro dei due treni. Affinchè essi si urtino si deve verificare la condizione (1), laddove

 

    SM=So+VM t

ed

    SR=VoR t-½ a t².      


Quindi:
 

      So+VM t=VoR t- ½ a t²      


Ordinando rispetto a t:
 

      ½a t²+(VM-VoR) t+So=0   (3)    


La (3) è un'equazione letterale di 2º grado nell'incognita t. Risolvendola si saprà se la soluzione sarà di tipo reale o meno. Prima però, è necessario calcolare un dato mancante, cioè l'accelerazione aR posseduta dal rapido e da noi indicata col solo simbolo a che al momento non è conosciuta (il treno merci infatti non ha accelerazione e quindi non ci corre il pericolo di confondere le due accelerazioni).
In effetti avevamo visto giusto quando ritenemmo precedentemente che sarebbe stato necessario calcolare qualche altro dato per poter risolvere il problema. Diremo che questo "imprevisto" rappresenta un classico nella risoluzione dei problemi di Fisica, perchè nella quasi totalità dei casi di risoluzione di problemi complessi è determinante calcolare, per altra via, dei dati mancanti essenziali per la risoluzione del problema.
Per ottenere l'accelerazione del rapido ricorriamo all'equazione oraria della velocità del rapido in funzione del tempo nella forma:
 

      VR=VoR-a t (4)    


e ragioniamo un momento. Nel punto X del percorso rettilineo, cioè nel punto finale della traiettoria rettilinea in cui il rapido si fermerà (che rappresenta il punto in cui il rapido si arresta con velocità finale nulla), evidentemente la velocità VR sarà uguale a zero, quindi:
 

      0=VoR-a tF        


essendo tF il tempo di arresto del rapido in frenata. Facilmente si ottiene:
 

      tF=VoR/a (5)    


Sempre in X, lo spazio di frenata, o spazio d'arresto SF, sarà:
 

      SF=VoR tF-½a tF²=(VoR²/a)-½(VoR²/a)=½VoR²/a    


In definitiva:
 

      a=VoR²/2SF=5/27 ~ 0,185 m/s² (6)    


il tempo di arresto, secondo la (5), sarà:
 

  tF=VoR/a=180 s e lo spazio di frenata SF=2VoR²/a=3000m .  


Nella (6) il valore dell'accelerazione è risultato positivo perchè nella (4) abbiamo precedentemente inserito il segno negativo. Se viceversa avessimo messo il segno positivo avremmo ottenuto la (6) col segno negativo giustificando comunque la caratteristica di una decelerazione.
A questo punto possiamo risolvere l'equazione (3). Sostituendo in essa i valori numerici, avremo:
 

      t²-165t+10800=0 (7)    


che è la forma normale dell'equazione di 2º grado nell'incognita t che si ottiene inserendo al posto dell'accelerazione a il valore ottenuto con la (6), al posto delle velocità VM e VoR, nonchè della distanza So, i valori dati dal testo, così come si riconoscono nella TAB.2. Se calcoliamo il discriminante Δ, avremo:
 

      Δ=b²-4ac=-15975<0. (8)    


Come era prevedibile il discriminante risulta negativo. Non esistono dunque radici reali : i due treni non si scontreranno mai, in quanto non esistono intersezioni fra i due diagrammi orari individuati nel grafico a) della fig.2 dalla retta SM=So+VM t per il moto rettilineo uniforme del treno merci e dalla parabola SR=VoR t-½a t² per il moto rettilineo uniformemente ritardato del treno rapido.

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