Esempio di risoluzione di un problema di fisica

La seconda fase dell'attività di risoluzione: analisi e discussione del problema.

18 - Quinta domanda.

La quarta colonna comprende i valori della distanza istantanea esistente tra i due treni a intervalli di tempo costanti. Anche qui si può notare facilmente che in corrispondenza dell'istante di tempo t_U=82.5s i due treni raggiungono la minima distanza. Matematicamente ciò può essere determinato col metodo analitico mediante una ricerca di minimo tra la differenza delle due equazioni orarie. Vediamo come. Se indichiamo con ΔS la differenza tra le due ascisse dei treni e consideriamo questa differenza come una funzione del tempo, del tipo f(t), avremo:

ΔS=f(t)=(So+V_M t)-(Vo_R t-½a t²) (14)

Deriviamo rispetto al tempo la funzione così ottenuta ottenendo:

f'(t)=V_M-Vo_R+a t (15)

Uguagliando a zero la derivata prima e risolvendo l'equazione così ottenuta rispetto a t si avrà:.

f'(t)=0

e quindi:

t=(Vo_R-V_M)/a=82.5s

che rappresenta l'intervallo di tempo impiegato dal rapido per avvicinarsi alla minima distanza dal treno merci.
La minima distanza  tra i due treni che indicheremo con ΔS_min, invece, si ottiene algebricamente dalla (14) sostituendo in essa al posto di t il valore 82.5 s. Si avrà ΔS_min=369.79m.
Nella fig.5 è rappresentato il relativo diagramma orario della funzione ΔS=f(t). La posizione di minimo è il punto P_m più in basso della curva di coordinate P_m=(82.5s ; 369.69m).
Si vede abbastanza bene la forma concava dell'andamento della distanza istantanea tra i due treni. In P_m sia l'ascissa, sia l'ordinata raggiungono il valore minimo a dimostrazione dell'avvenuto avvicinamento massimo tra i due treni.

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