Ramo della matematica che riguarda le proprietà dello spazio. Nella

                 sua forma più elementare la geometria si occupa di problemi metrici quali 

                 la determinazione delle aree e delle dimensioni di figure bidimensionali,  

                 o della superficie totale e del volume dei solidi, ma attualmente comprende 

                 anche campi quali la geometria analitica, la geometria descrittiva, la 

                 topologia, la geometria di spazi a più di tre dimensioni, la geometria 
          
                 dei frattali e la geometria non euclidea.

                 PRIME FORME DI GEOMETRIA DIMOSTRATIVA
  
                 L'etimologia del termine geometria, che deriva dal greco geo, "terra", 

                 e métrein, "misurare", fornisce una descrizione del lavoro dei primi 
                 
                 geometri, i quali si occupavano principalmente di problemi quali la 

                 misurazione dell'estensione dei campi da coltivare e la determinazione

                 accurata di angoli retti per realizzare gli spigoli degli edifici. 

                 Questo tipo di geometria empirica, che fiorì nell'antico Egitto, 

                 presso i sumeri e presso i babilonesi, venne in seguito raffinata 

                 dai greci, che ne diedero la prima formulazione sistematica. Nel VI

                 secolo a.C. il matematico greco Pitagora pose le basi della geometria

                 scientifica osservando che le numerose leggi arbitrarie e sconnesse 

                 della geometria empirica erano conseguenze logiche di un numero limitato

                 di assiomi, o postulati. Questi postulati vennero considerati nell'ambito

                 della scuola pitagorica come verità evidenti, mentre secondo l'impostazione

                 matematica moderna sono ritenuti un gruppo di assunzioni convenienti, ma del

                 tutto arbitrarie.

                 Dall'affermazione secondo cui "il percorso più breve che unisce due punti 

                 distinti è un segmento di retta" discende un gran numero di teoremi sulle

                 proprietà di punti, rette, angoli, curve e piani, che tuttora costituiscono

                 le nozioni fondamentali della geometria classica. Tra questi teoremi si 

                 ricorda quello che afferma che "la somma degli angoli interni di un 

                 triangolo qualunque è pari alla somma di due angoli retti", e il celebre

                 teorema di Pitagora, secondo cui in un triangolo rettangolo la somma del

                 quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti

                 sui cateti. La teoria dimostrativa dei greci, che si occupò principalmente

                 di poligoni e cerchi e delle corrispondenti figure tridimensionali, venne

                 rigorosamente esposta dal matematico greco Euclide, negli Elementi, opera

                 che, nonostante le imperfezioni, è stata, e praticamente continua a essere,

                 un testo fondamentale per lo studio della geometria.

                 PRIMI PROBLEMI GEOMETRICI 
 
                 I problemi di costruzione, che consistono nel trovare il modo di disegnare
              
                 una data figura geometrica con l'uso esclusivo di un righello e di un compasso,

                 furono introdotti per la prima volta dai greci. Esempi di simili problemi sono

                 la costruzione di un segmento doppio di un altro segmento di misura data, o della

                 bisettrice di un angolo (la semiretta che divide un angolo in due angoli uguali).

                 Per quanto alcuni di essi siano di semplice soluzione, tre antichi problemi di 

                 costruzione hanno impegnato generazioni e generazioni di matematici: la duplicazione

                 del cubo (la costruzione di un cubo di volume doppio di quello di un cubo dato); 

                 la quadratura del cerchio (la costruzione di un cerchio di area uguale a quella 

                 di un quadrato assegnato); e la trisezione di un angolo (la divisione di un angolo

                 in tre angoli uguali). Nessuna di queste costruzioni è realizzabile con il solo 

                 ausilio di un righello e di un compasso; ma solo nel 1882 fu definitivamente 

                 dimostrata in modo rigoroso l'impossibilità di quadrare il cerchio.
     
                 Spetta ad Apollonio di Perge il merito di aver introdotto e definito molte delle 

                 proprietà fondamentali della famiglia delle coniche, che sono curve generate dall'

                 intersezione di un bicono circolare retto con un piano, importanti in molti campi 

                 della fisica: ad esempio, le orbite dei pianeti e degli altri corpi celesti del 
        
                 sistema solare sono ellissi.

                 Archimede, uno dei più grandi scienziati greci, diede numerosi importanti contributi

                 allo sviluppo della geometria. Determinò l'area di figure piane curve, e la superficie

                 e il volume di solidi delimitati da superfici curve, quali i paraboloidi e i cilindri.

                 Egli ricavò inoltre un metodo di approssimazione per determinare il valore del numero

                 pi greco (p), definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio,

                 e concluse che esso dovesse essere compreso tra 3 +1/7 e 3 + 10/71.

                 GEOMETRIA ANALITICA
  
                 La geometria fece scarsi progressi nel periodo che seguì l'epoca d'oro dei greci, fino

                 al termine del Medioevo. La svolta decisiva fu compiuta infatti dal filosofo e matematico

                 francese René Descartes, che nella Geometria, pubblicata nel 1637, pose le basi della 

                 geometria analitica, un ramo della matematica che stabilisce l'importante collegamento

                 tra algebra e geometria. Nell'ambito della geometria analitica è infatti possibile

                 fornire una descrizione geometrica di problemi algebrici e, viceversa, determinare

                 una formulazione, o eventualmente una soluzione, in termini algebrici, di problemi

                 di natura geometrica.

                 Un ulteriore sviluppo del XVII secolo fu la ricerca delle proprietà delle figure 

                 geometriche che si conservano dopo aver eseguito la proiezione delle figure su 

                 piani diversi. Un semplice teorema della geometria proiettiva è illustrato in 

                 figura 1. Se si prendono i punti A, B, C e a, b, c su una qualunque conica, 

                 ad esempio una circonferenza, e si uniscono i punti A con b e c, B con c e a,

                 e C con b e a, i tre punti in cui i segmenti corrispondenti si intersecano 

                 risultano allineati. Analogamente, se si tracciano sei tangenti su una conica,

                 come in figura 2, i segmenti che uniscono i punti generati dall'intersezione 

                 tra queste tangenti si incontrano in un unico punto. Questo problema si dice 

                 proiettivo, perché è vero per tutte le coniche, che possono essere considerate

                 come diverse proiezioni di una stessa curva; ad esempio, come mostrato in figura 3,

                 la proiezione di una circonferenza su un piano determina un'ellisse.

                 SVILUPPI RECENTI
  
                 La geometria ha avuto una svolta radicale nel XIX secolo. I matematici Carl Friedrich
                 
                 Gauss,Nikolaj Lobaèevskij e Janos Bolyai svilupparono, l'uno indipendentemente dall'altro,

                 sistemi coerenti di geometria non euclidea. Tali sistemi nacquero dalla discussione del

                 quinto postulato di Euclide, che stabilisce l'unicità della parallela tracciata per un

                 punto a una retta fissata, e giunsero alla definizione di modelli di spazio bizzarri e

                 non intuitivi, ma pur sempre coerenti.Il matematico britannico Arthur Cayley sviluppò

                 la complessa geometria di spazi a più di tre dimensioni. Il principio di tale teoria

                 può essere compreso con la seguente considerazione. Una retta costituisce uno spazio

                 monodimensionale; se per ogni punto di questa retta se ne traccia un'altra, perpendicolare

                 alla prima, si ottiene un piano, ossia uno spazio bidimensionale; se ancora si traccia una

                 retta perpendicolare al piano per ogni suo punto, si giunge finalmente allo spazio a tre 

                 dimensioni. Lo spazio a quattro dimensioni si ottiene allora nello stesso modo, cioè 

                 tracciando una perpendicolare allo spazio per ogni suo punto; pur risultando questa 

                 un'operazione fisicamente impossibile e sconcertante per la mente, essa è concettualmente

                 fondata. Il concetto di spazio a più di tre dimensioni conta un gran numero di applicazioni

                 in fisica, in particolare nell'ambito della teoria della relatività che, accostando la 

                 coordinata temporale alle consuete coordinate spaziali, impiega un sistema a quattro 

                 dimensioni, noto come spazio-tempo, per la descrizione dell'evoluzione di un sistema fisico.

                 Lo studio delle proprietà delle figure geometriche a quattro o più dimensioni e del loro 

                 rapporto con quelle dello spazio tridimensionale è oggetto della geometria strutturale.

                 Un esempio di questo approccio è la definizione delle figure più semplici che si possano

                 disegnare nello spazio a zero, una, due, tre, quattro, o più dimensioni, rispettivamente.

                 Nei primi quattro spazi elencati, le figure geometriche sono quelle familiari: il punto,

                 la retta, il triangolo e il tetraedro. In uno spazio la figura più semplice è costituita

                 da 5 vertici, 10 segmenti che ne costituiscono gli spigoli, 10 triangoli che ne costituiscono

                 le facce, e cinque tetraedri (un tetraedro, utilizzando i medesimi principi di analisi di 

                 questo tipo di geometria, è costituito da quattro vertici, sei segmenti, e quattro triangoli
  
                 (vedi figura4)).Sempre nel XIX secolo si parlò per la prima volta di dimensione frazionaria.

                  Questo concetto fu poi sviluppato a partire dal 1970 nell'ambito della geometria dei frattali.