Le spirali sono alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell’ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa. Archimede ne scrisse un trattato ("Sulle Spirali"). Scopriamo spirali anche nella natura inanimata, come ad esempio la galassia a spirale.
Le spirali sono anche alla base dei frattali: esistono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali per quanto riguarda i frattali è la spirale logaritmica.
Nel 1957 A. E. Bosman con "La geometria nel pianeta: un campo miracoloso di ricerca" voleva mostrare le miracolose figure geometriche della natura, prima fra tutte la spirale. Una delle sue figure più importanti è l’albero di Pitagora, la cui costruzione è basata sul sistema binario.

Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all’area del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l’area del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato. La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica.

Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati. L’albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico. Vi sono anche frattali a forma di stella, costruiti per esempio con una linea chiusa e successivi segmenti che si incrociano tutti con lo stesso angolo. Si può comparare la curva di von Koch con una costa della Bretagna, ma la natura è creata con casualità. Se si considera la somiglianza statisticamente si creano frattali più realistici. Per far ciò occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. Si è sviluppata, inoltre, una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi infatti più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura.

E' interessante notare, parlando in termini informatici, che, se si potesse riuscire ad aumentare il livello di realismo, la quantità di informazioni (quindi la dimensione di un file) da fornire al computer per visualizzare una felce su schermo sarebbe minore. Questo uso della geometria frattale è studiato da diversi anni e viene chiamato IFS (Iterated Function System).
Robert Brown nel 1828 scoprì che le particelle al microscopio si muovevano in modo imprevedibile e casuale. Questo particolare moto è stato chiamato moto browniano. L’idea della curva di un frattale può aiutare a farsi un’impressione della traiettoria di un moto browniano. Si deduce che le proprietà statistiche non variano a seconda della scala. I frattali browniani sono molto naturali. Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: i crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri, la cui locazione è del tutto casuale.